Schémas boîte hermitiens - Algorithmes rapides pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2011

Hermitian box schemes - fast solvers for the discretisation of partial differential equations

Schémas boîte hermitiens - Algorithmes rapides pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles

Ali Abbas
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 777194
  • IdRef : 156896656

Résumé

In this thesis, a fourth order compact scheme on a Cartesian grid is introduced for the Poisson problem in a square or in a cube. This scheme is an ¨Hermitian Box scheme¨. It combines a finite volume (box) approach with an Hermitian calculation of the derivative as in mixed methods. The value of u et ∇u at each node are calculated. In addition, only average values of the source term f(x, y) is required by the solver. This is an important property e.g. in electromagnetism. The main part of the report presents the implementation of a fast solver based on a decomposition of the matrix into a diagonal part and of a low rank auxiliary matrix. The fast solver uses the Sherman-Morrison-Woodbury formula and the FFT. The implementation in the 3D case is presented to assess the interest of the scheme for practical problems.
Dans cette thèse, on introduit un schéma compact d’ordre quatre sur une grille cartésienne pour le problème de Poisson dans un carré et dans un cube. Ce schéma, de type “boîte hermitien”, combine une approche volumes finies (boîte) avec un calcul hermitien de la dérivée comme dans les méthodes mixtes. Il fournit par construction une approximation de u et ∇u aux nœuds. De plus il utilise seulement les moyennes du terme source f(x, y) et non pas les valeurs ponctuelles f(xi, yj). C’est une propriété intéressante dans l’approximation de problèmes en électromagnétisme. La partie essentielle du mémoire présente la mise au point d’une procédure de résolution rapide utilisant la décomposition de la matrice du schéma en une somme d’une matrice diagonale (dans une base spectrale) et d’une matrice auxiliaire de rang petit. La résolution est effectuée par un algorithme de résolution directe utilisant la formule de Sherman-Morrison-Woodbury et la FFT. L´implémentation en 3 dimensions dans un cube est présentée, afin de prouver l’intérêt de la méthode pour les applications.
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Dates et versions

tel-01749061 , version 2 (16-03-2016)
tel-01749061 , version 1 (29-03-2018)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01749061 , version 2

Citer

Ali Abbas. Schémas boîte hermitiens - Algorithmes rapides pour la discrétisation des équations aux dérivées partielles. Analyse numérique [math.NA]. Université Paul Verlaine Metz, 2011. Français. ⟨NNT : 2011METZ024S⟩. ⟨tel-01749061v2⟩
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