Discrete Parameters in Petri Nets
Réseaux de Petri à Paramètres Discrets
Résumé
With the aim of increasing the modelling capability of Petri nets, we
suggest that models involve parameters to represent the weights of arcs, or the number of tokens
in places. We consider the property of coverability of markings. Two general questions arise,
the universal and the existential one: “Is there a parameter value for which the property is
satisfied?” and “Does the property hold for all possible values of the parameters”. We show
that these issues are undecidable in the general case. Therefore, we also define subclasses of
parameterised nets, depending on whether the parameters are used on places, input or output
arcs of transitions. For some classes, we prove that universal and existential coverability become
decidable, making these classes more usable in practice. To complete this study, we prove that
those problems are ExpSpace-complete. We also address a problem of parameter synthesis,
that is computing the set of values for the parameters such that a given marking is coverable
in the instantiated net. Restricting parameters to only input weights (preT-PPNs) provides a
downward-closed structure to the solution set. We therefore invoke a result for the representation
of upward closed set from Valk and Jantzen. The condition to use this procedure is equivalent
to decide the universal coverability. We also propose an adaptation of this reasoning to the
case of parameters used only as output weights (postT-PPNs). In this case, the condition to
use this procedure can be reduced to the decidability of the existential coverability. Finally,
we broaden this study by establishing decision frontiers through the study of existential and
universal reachability.
Afin de permettre une modélisation plus souple des systèmes, nous proposons
d’étendre les réseaux de Petri par des paramètres discrets représentant le poids des arcs
ou le nombre de jetons présents dans les places. Dans ce modèle, tout problème de décision peut
être décliné sous deux versions, une universelle, demandant si la propriété considérée est vraie
quelles que soient les valeurs que prennent les paramètres et une existentielle, qui s’interroge sur
l’existence d’une valeur pour les paramètres telle que la propriété soit satisfaite. Concernant
la couverture, nous montrons que ces deux problèmes sont indécidables dans le cas général.
Nous introduisons donc des sous classes syntaxiques basées sur la restriction des paramètres aux
places, aux arcs en sortie ou aux arcs en entrée des transitions. Dans ces différents cas, nous
montrons que la couverture existentielle et universelle sont décidables et EXPSPACE-complètes.
Nous étudions alors le problème de la synthèse de paramètres qui s’intéresse à calculer l’ensemble
des valeurs de paramètres telles que la propriété considérée soit vraie. Sur les sous classes introduites,
concernant la couverture, nous montrons que les ensembles solutions à la synthèse
ont des structures fermée supérieurement (cas des arcs de sortie) et fermée inférieurement (cas
des arcs d’entrée). Nous prouvons alors que ces ensembles se calculent par un algorithme de
la littérature, proposé par Valk et Jantzen, dont les conditions d’application se réduisent aux
problèmes de décision étudiés précédemment. Enfin nous étudions les frontières de décision en
nous intéressant aux versions paramétrées de l’accessibilité pour ces sous classes.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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