Cyclic operads: syntactic, algebraic and categorified aspects
Opérades cycliques : aspects syntaxiques, algébriques et catégorifiés
Résumé
In this thesis, we examine different frameworks for the general theory of cyclic operads of Getzler and Kapranov. As suggested by the title, we set up theoretical grounds of syntactic, algebraic and categorified nature for the notion of a cyclic operad. In the syntactic treatment, we propose a λ-calculus-style formal language, called μ-syntax, as a lightweight representation of the entries-only cyclic operad structure. As opposed to the original exchangeable-output characterisation of cyclic operads, according to which the operations of a cyclic operad have inputs and an output that can be “exchanged” with one of the inputs, the entries-only cyclic operads have only entries (i.e. the output is put on the same level as the inputs). By employing the rewriting methods behind the formalism, we give a complete step-by-step proof of the equivalence between the unbiased and biased definitions of cyclic operads. Guided by the microcosm principle of Baez and Dolan and by the algebraic definitions of operads of Kelly and Fiore, in the algebraic approach we define cyclic operads internally to the category of Joyal’s species of structures. In this way, both the original exchangeable-output characterisation of Getzler and Kapranov, and the alternative entries-only characterisation of cyclic operads of Markl are epitomised as “monoid-like” objects in “monoidal-like” categories of species. (Strictly speaking, the two products on species, which capture the two ways of defining cyclic operads, are not monoidal, as they are not associative, but the induced structures arise in the same way as the one reflecting a specification of a monoid in a monoidal category. In particular, they are both subject to isomorphisms which fix the lack of associativity.) Relying on a result of Lamarche on descent for species, we use these “monoid-like” definitions to prove the equivalence between the exchangeable-output and entries-only points of view on cyclic operads.
Finally, we establish a notion of categorified cyclic operad for set-based cyclic operads with symmetries, defined in terms of generators and relations. The categorifications we introduce are obtained by replacing sets of operations of the same arity with categories, by relaxing certain defining axioms, like associativity and commutativity, to isomorphisms, while leaving the equivariance strict, and by formulating coherence conditions for these isomorphisms. The coherence theorem that we prove has the form “all diagrams of canonical isomorphisms commute”. For entries-only categorified cyclic operads, our proof is of syntactic nature and relies on the coherence of categorified operads established by Dosen and Petric. We prove the coherence of exchangeable-output categorified cyclic operads by “lifting to the categorified setting” the equivalence between entries-only and exchangeable-output cyclic operads, set up previously in the algebraic approach.
Dans cette thèse, nous examinons différents cadres pour la théorie générale des opérades cycliques de Getzler et Kapranov. Comme le suggère le titre, nous établissons des fondements théoriques de natures syntaxiques, algébriques et catégorifiées pour la notion d’opérade cyclique.
Dans le traitement syntaxique, nous proposons un langage formel à la manière du lambda-calcul, appelé mu-syntaxe, en tant que représentation légère de la structure <> d’opérades cycliques. Contrairement à la caractérisation originale des opérades cycliques, appelée la caractérisation <>, selon laquelle les opérations d’une opérade cyclique ont des entrées et une sortie qui peut être <<échangée>> avec une entrée, les opérades cycliques <> sont présentées comme des généralisations d’opérades pour lesquelles une opération n’a plus des entrées et une sortie, mais seulement des entrées (c’est-à-dire pour lesquelles la sortie est <> que les entrées). Grâce aux méthodes de réécriture derrière le formalisme, nous donnons une preuve pas-à-pas complète de l’équivalence entre les définitions biaisées et non biaisées des opérades cycliques.
Guidés par le principe du microcosme de Baez et Dolan et par les définitions algébriques des opérades de Kelly et Fiore, dans l’approche algébrique, nous définissons les opérades cycliques à l’intérieur de la catégorie des espèces de structures de Joyal. De cette façon, la caractérisation originale <> de Getzler et Kapranov, et la caractérisation alternative <> des opérades cycliques de Markl, sont toutes les deux incarnées comme monoïdes dans une catégorie monoïdale des espèces de structures. (À proprement parler, les deux produits sur les espèces, qui captent les deux façons de définir les opérades cycliques, ne sont pas monoïdaux, car ils ne sont pas associatifs, mais les structures induites apparaissent selon le même principe que celui qui reflète une spécification d’un monoïde dans une catégorie monoïdale. En particulier, ils sont tous les deux soumis à des isomorphismes qui compensent le défaut d’associativité.) En s’appuyant sur un résultat de Lamarche sur la descente pour les espèces, nous utilisons ces définitions monoïdales pour prouver l’équivalence entre les points de vue <> et <> pour les opérades cycliques.
Enfin, nous établissons une notion d’opérade cyclique catégorifiée pour les opérades cycliques avec symétries, définies dans la catégorie des ensembles en termes de générateurs et relations. Les catégorifications que nous introduisons sont obtenues en remplaçant des ensembles d’opérations de la même arité par des catégories, en relâchant certains axiomes de la structure, comme l’associativité et la commutativité, en isomorphismes, tout en laissant l’équivariance stricte, et en formulant des conditions de cohérence pour ces isomorphismes. Le théorème de cohérence que nous prouvons a la forme <>. Pour les opérades cycliques <>, notre preuve a un caractère syntaxique et s’appuie sur la cohérence des opérades non symétriques catégorifiées, établie par Došen and Petrić. Nous prouvons la cohérence des opérades cycliques <>, en relevant au cadre catégorifié l’équivalence entre les définitions <> et <>, mise en place précédemment dans l’approche algébrique.
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