The local energy inequalities in the theory of the Navier-Stokes equations
Les inégalités d'énergie locales dans la théorie des équations de Navier-Stokes
Résumé
In this dissertation, we are concerned with the role of the local energy inequalities in the theory of the partial regularity of the weak solutions of the Navier-Stokes equations in the direction of the Theorem of Caffarelli, Kohn and Nirenberg.
We distinguish three parts. The first part of the thesis deals essentially with the announcement by the Korean mathematician Choe at Waseda in 2013 of the demonstration of a new local energy inequality which applies to any weak solution of the Navier-Stokes equations without any hypothesis on the pressure, and which allowed to extend the results of partial regularity of Caffarelli, Kohn and Nirenberg to all weak solutions and not only to the suitable one.
A rigorous study of the proof of Choe's inequality allowed us to conclude that this proof was false a priori for the case of a general solution, and Choe's main theorem (which was supposed to give us a regularity in time and space variables outside of an extremely small set of singularity) was contradicted by a counter-example of Serrin that linked the regularity in time to the assumptions on the pressure.
In this first part, we have drafted a conscientious proof of the inequality introduced by Choe by adding an extra hypotheses that had to be introduced in order to demonstrate it. However, the new energy inequality (which did not involve the pressure) did not serve to extend Choe's assertions, but we were able to identify a new variable inspired by Choe's proof that allowed us to introduce our main result.
The second part of the thesis is devoted to deeply studying the new variable suggested by a part of Choe's work. Indeed, we could assimilate a new variable $\vv$ linked to the curl of the solution $\vu$, and by studying $\vv $, using a mixture of the Serrin theory and that of Caffarelli, Kohn and Nirenberg we obtained a partial regularity result which does not apply to any weak solution (contrary to Choe's statement) but to a wider class than the suitable solutions (in the sense of Caffarelli, Kohn and Nirenberg): the notion of dissipative solutions was introduced following the work of Duchon and Robert done in 2000 and this allows us to positively include the counter example of Serrin in our new theory.
The third and last part is intended for the study of the stability of dissipative solutions by weak-*convergence. Indeed, we consider a bounded sequence $\vu_{n}$ in $L^{\infty}_t L^2_x\cap L^{2}_t H^1_x$, a bounded force $\vf_{n}$ in $L^{\frac{10}{7}}_t L^{\frac{10}{7}}_x$ and a pressure $p_{n}\in \mathcal{D}'(Q)$. We also suppose that $\vu_{n}$ is dissipative in the sense of the definition given in the second part and we will prove that the limit $\vu$ of a subsequence $\vu_ {n_ {k}}$ is a solution of the Navier-Stokes equations and is dissipative.
Cette thèse est consacrée au rôle des inégalités d'énergie locales dans la théorie de la régularité partielle des solutions faibles des équations de Navier-Stokes dans le sens du Théorème de Caffarelli, Kohn et Nirenberg.
Nous distinguons trois parties. La première partie de la thèse traite essentiellement l'annonce faite par le mathématicien coréen Choe à Waseda en $2013$ d'une nouvelle inégalité d'énergie locale qui s'applique à toute solution faible des équations de Navier-Stokes, sans aucune hypothèse sur la pression, et qui permettait d'étendre les résultats de régularité partielle de Caffarelli, Kohn et Nirenberg à toutes les solutions faibles et pas seulement aux solutions adaptées.
Une étude de la preuve de l'inégalité de Choe nous permettait de conclure que cette preuve était fausse a priori pour le cas d'une solution générale, et le théorème principal de Choe (qui était sensé nous donner une régularité en temps et en espace en dehors d'un ensemble de singularité extrêmement petit) était contredit par un contre exemple de Serrin qui liait la régularité en temps à des hypothèses sur la pression.
Dans cette première partie on a rédigé une preuve rigoureuse de l'inégalité introduite par Choe en rajoutant des hypothèses supplémentaires qu'il fallait introduire pour la démontrer. Néanmoins, cette nouvelle inégalité d'énergie (qui ne fait pas intervenir la pression) nous ne sert pas à prolonger les affirmations de Choe, mais on a pu identifier une nouvelle variable, inspirée de la preuve de Choe, qui nous a permit d'introduire notre résultat principal.
En effet, la deuxième partie de la thèse est consacrée à étudier profondément la nouvelle variable suggérée par une partie du travail de Choe. On a pu assimiler une nouvelle variable $\vv$ liée au rotationel de la solution $\vu$ et en étudiant $\vv$, à l'aide d'un mélange de la théorie de Serrin et celle de Caffarelli, Kohn et Nirenberg on a obtenu un résultat de régularité partielle qui ne s'applique pas à toute solution faible (contrairement à l'énoncé de Choe) mais à une classe plus large que les solutions adaptées (au sens de Caffarelli, Kohn et Nirenberg): la notion de solution dissipative a été introduite en suivant les travaux de Duchon et Robert fait en 2000 et cette notion nous permet d'inclure positivement le contre exemple de Serrin dans notre nouvelle théorie.
La troisième et dernière partie de cette thèse est destinée à l'étude de la stabilité des solutions dissipatives par convergence *-faible. En effet, on considère une suite $\vu_{n}$ qui converge faiblement dans $L^{\infty}_t L^2_x\cap L^{2}_t H^1_x$, une force extérieure $\vf_{n}$ qui converge faiblement dans $L^{\frac{10}{7}}_t L^{\frac{10}{7}}_x$ à divergence nulle et une pression $p_{n}\in \mathcal{D}'(Q)$. On suppose aussi que $\vu_{n}$ est dissipative au sens de la définition donnée dans la deuxième partie et on va prouver que la limite $\vu$ d'une sous suite $\vu_{n_{k}}$ est une solution des équations de Navier-Stokes et elle est dissipative.
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