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Theses Year : 2017

Planar graphs: non-aligned drawings, power domination and enumeration of Eulerian orientations

Graphes planaires : dessins non-alignés, domination de puissance et énumération d'orientations Eulériennes

Abstract

In this thesis, we present results on three different problems concerning planar graphs. We first give some new results on planar non-aligned drawings, i.e., planar grid drawings where vertices are all on different rows and columns. We show that not every planar graph has a non-aligned drawing on a grid with n rows and columns, but we present two algorithms generating a non-aligned polyline drawings on such a grid requiring either n − 3 or min( (2n−5)/3 , #{separating triangles} + 1) bends in total. Concerning non-minimal grids, we give two algorithms drawing a planar non-aligned drawing on grids with area O(n^4). We also give specific results for 4-connected graphs and nested-triangle graphs. The second topic is power domination in planar graphs. We present a family of graphs with power dominating number γ_P at least n/6 . We then prove that for every maximal planar graph G of order n, γ_P (G) ≤ (n−2)/4 , and we give a constructive algorithm. We also prove that for triangular grids Tk of dimension k with hexagonal-shape border, γ_P (Tk) = \lceil k/3 \rceil. Finally, we focus on the enumeration of planar Eulerian orientations. After proposing a new decomposition for these maps, we define subsets and supersets of planar Eulerian orientations with parameter k, generated by looking at the orientations of the last 2k − 1 edges around the root vertex. For each set, we give a system of functional equations defining its generating function, and we prove that it is always algebraic. This way, we show that the growth rate of planar Eulerian orientations is between 11.56 and 13.005.
Dans cette thèse, nous étudions trois problèmes concernant les graphes planaires. Nous travaillons tout d’abord sur les dessins planaires non-alignés, c’est-à-dire des dessins planaires de graphes sur une grille sans que deux sommets se trouvent sur la même ligne ou la même colonne. Nous caractérisons les graphes planaires possédant un tel dessin sur une grille à n lignes et n colonnes, et nous présentons deux algorithmes générant un dessin planaire non-aligné avec arêtes brisées sur cette grille pour tout graphe planaire, avec n − 3 ou min( (2n−5)/3 , #{triangles séparateurs} + 1) brisures au total. Nous proposons également deux algorithmes dessinant un dessin planaire non-aligné sur des grilles d’aire O(n^4). Nous donnons des résultats spécifiques concernant les graphes 4-connexes et de type triangle-emboîté. Le second sujet de cette thèse est la domination de puissance dans les graphes planaires. Nous exhibons une famille de graphes ayant un nombre de domination de puissance γ_P au moins égal à n/6 . Nous montrons aussi que pour tout graphe planaire maximal G à n ≥ 6 sommets, γ_P (G) ≤ (n−2)/4 . Enfin, nous étudions les grilles triangulaires Tk à bord hexagonal de dimension k et nous montrons que γ_P (Tk ) = \lceil k/3 \rceil. Nous étudions également l’énumération des orientations planaires Eulériennes. Nous proposons tout d’abord une nouvelle décomposition de ces cartes. Puis, en considérant les orientations des dernières 2k − 1 arêtes autour de la racine, nous définissons des sous- et sur-ensembles des orientations planaires Eulériennes paramétrés par k. Pour chaque classe, nous proposons un système d’équations fonctionnelles définissant leur série génératrice, et nous prouvons que celle-ci est toujours algébrique. Nous montrons ainsi que la constante de croissance des orientations planaires Eulériennes est comprise entre 11.56 et 13.005.
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Dates and versions

tel-01550449 , version 1 (29-06-2017)

Identifiers

  • HAL Id : tel-01550449 , version 1

Cite

Claire Pennarun. Planar graphs: non-aligned drawings, power domination and enumeration of Eulerian orientations. Discrete Mathematics [cs.DM]. Université de Bordeaux, 2017. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01550449⟩
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