Ce mémoire concerne l’ensemble des travaux que j’ai réalisés entre les années 2005 et 2014. Ceux-ci sont regroupés en trois chapitres, correspondant aux trois lignes thématiques que j’ai abordées durant cette période. La première partie concerne les équations non-locales avec termes de convolution, dont la principale motivation est d’identifier les différences qualitatives entre la version locale de l’équation de la chaleur et sa version non-locale. Plusieurs thèmes sont abordés : la convergence asymptotique en temps long ; la croissance optimale des données pour le problème de Cauchy ; des résultats de type « grandes déviations » pour étudier la rapidité de la convergence d’un problème de Cauchy-Dirichlet dans une boule dont le rayon tend vers l’infini. Dans le cas de noyaux à support compact, ces deux dernières questions font apparaître des taux en RlnR au lieu du taux quadratique R^2 pour la chaleur locale. Les problèmes d’isothermalisation dans un milieu non homogène ainsi qu’une version nonlocale du problème de Stefan sont également étudiés. L’intérêt de la version non-locale du problème de Stefan ne réside pas que dans un « jeu » mathématique : la question de l’existence de zones dont l’état est intermédiaire entre l’eau et la glace (mushy regions) est centrale du point de vue de la modélisation physique. Le problème local ne rend pas complètement compte de la possible apparition de ces zones et leur évolution, alors que notre modèle non-local permet de mieux les prendre en compte et les localiser. En parallèle, je me suis intéressé également aux équations non-locales non-linéaires avec des termes de type Lévy, impliquant donc des mesures singulières. Dans ce cadre, c’est la notion de solution de viscosité qui est retenue afin de traiter les opérateurs les plus généraux possibles. Les résultats obtenus concernent l’existence et l’unicité de solutions des problèmes de Dirichlet et Neumann ; l’étude du problème de Dirichlet sur le bord (la valeur au bord est-elle prise ?) ; la régularité (locale) des solutions ; leur comportement asymptotique en temps grand. Une aspect intéressant de notre approche est qu’elle permet de traiter des problèmes « mixtes » dans le sens où l’ellipticité peut, en chaque point, provenir soit d’une partie locale de l’équation, soit d’une partie non-locale, et chaque terme peut concerner des variables d’espace distinctes. La troisième partie de ce mémoire reprend des travaux plus récents, entre 2011 et 2014, sur des problèmes de contrôle optimal en présence de discontinuités dans les dynamiques au franchissement de certaines zones. L’enjeu est de décrire complètement l’ensemble des solutions des équations aux dérivées partielles associées (équations de Hamilton-Jacobi-Bellman), puisque l’on montre qu’il n’y a pas unicité en général. Nos résultats permettent de caractériser la solution minimale et la solution maximale comme fonction-valeur de deux problèmes de contrôle où les dynamiques sur les zones de discontinuité doivent être précisées : la solution minimale est obtenue lorsqu’on ne fait aucune restriction sur les contrôles, alors que pour la solution maximale il faut sélectionner les contrôles dits « réguliers ». Les questions d’homogénéisation en présence de discontinuités sont aussi abordées, on montre des résultats d’homogénéisation pour les solutions minimales d’une part, et pour les solutions maximales d’autre part, qui conduisent à des problèmes ergodiques différents.