Development and use of higher-order asymptotics to solve inverse scattering problems
Développement et utilisation de méthodes asymptotiques d'ordre élevé pour la résolution de problèmes de diffraction inverse
Résumé
The purpose of this work was to develop new methods to address inverse problems in elasticity, taking advantage of the presence of a small parameter in the considered problems by means of higher-order asymptotic expansions.
The first part is dedicated to the localization and size identification of a buried inhomogeneity B in a 3D elastic domain. In this goal, we focus on the study of functionals J(Ba) quantifying the misfit between B and a trial homogeneity Ba . Such functionals are to be minimized w.r.t. some or all
the characteristics of the trial inclusion Ba (location, size, mechanical properties ...) to find the best agreement with B. To this end, we produce an expansion of J with respect to the size of Ba , providing a polynomial approximation easier to minimize. This expansion, established up to the sixth order in a volume integral equations framework, is justified by an estimate of the residual. A suited identification procedure is then given and supported by numerical illustrations for simple obstacles in full-space.
The main purpose of this second part is to characterize a microstructured two-phases layered 1D inclusion of length L, supposing we already know its low-frequency transmission eigenvalues (TEs). Those are computed as the eigenvalues of the so-called interior transmission problem (ITP). To provide
a convenient invertible model, while accounting for the microstructure effects, we rely on homogenized approximations of the exact ITP for the periodic inclusion. Focusing on the leading-order homogenized ITP, we first provide a straightforward method to recover the macroscopic parameters (length and material contrast) of such inclusion. To access the key features of the microstructure, higher-order homogenization is finally addressed, with emphasis on the need for suitable boundary conditions.
L'objectif de ce travail est le développement de nouvelles méthodes pour aborder certains problèmes inverses en élasticité, en tirant parti de la présence d'un petit paramètre dans ces problèmes pour construire des approximations asymptotiques d'ordre élevé.
La première partie est consacrée à l’identification de la taille et la position d’une inhomogénéité B enfouie dans un domaine élastique tridimensionnel. Nous nous concentrons sur l’étude de fonctions-coûts J(Ba) quantifiant l’écart entre B et une hétérogénéité “test” Ba . Une telle fonction-coût peut en effet être minimisée par rapport à tout ou partie des caractéristiques de l’inclusion “test” Ba (position, taille,
propriétés mécaniques ...) pour établir la meilleure correspondance possible entre Ba et B. A cet effet, nous produisons un développement asymptotique de J en la taille de Ba , qui en constitue une approximation polynomiale plus aisée à minimiser. Ce développement, établi jusqu’à l’ordre six, est justifié par une estimation du résidu. Une méthode d’identification adaptée est ensuite présentée et illustrée par des exemples numériques portant sur des obstacles de formes simples dans l’espace libre.
L’objet de la seconde partie est de caractériser une inclusion microstructurée de longueur L, modélisée en une dimension, composée de couches de deux matériaux alternés périodiquement, en supposant que les plus basses de ses fréquences propres de transmission (TEs) sont connues. Ces fréquences sont les valeurs propres d’un problème dit de transmission intérieur (ITP). Afin de disposer d’un modèle propice à l’inversion, tout en prenant en compte les effets de la microstructure, nous nous reposons sur des approximations de l’ITP exact obtenues par homogénéisation. A partir du modèle homogénéisé d’ordre 0, nous établissons tout d’abord une méthode simple pour déterminer les paramètres macroscopiques
(longueur et contrastes matériaux) d’une telle inclusion. Pour avoir accès à la période de la microstructure, nous nous intéressons ensuite à des modèles homogénéisés d’ordre élevé, pour lesquels nous soulignons le besoin de conditions aux limites adaptées.
Loading...