Mathematical modeling in Neuroscience
Modélisation mathématique en neuroscience
Résumé
This work is devoted to the study of mathematical questions arising from the modeling of biological
systems combining analytic and probabilistic tools. It is principally related to: (1) the mathematical
modeling and analysis of neuronal networks, (2) the role of homeoproteins diusion in morphogenesis,
and (3) the chaos propagation property for a particle system for a subcritical Keller-Segel equation.
The first part is concerned with the chaos propagation and long time behaviour of the solutions of some
mean-field equations. More precisely, to the derivation of the mean-field equations related to neuronal
networks, and the study of the convergence to the equilibria of the solutions to those limit equations.
First, in Chapter 2, the coupling method is used to prove the chaos propagation for a neuronal network
with delays and random architecture. The main novelty is to consider the delays and the synaptic
weights correlated, which is the case of biological networks where the anatomically close neurons are
strongly connected. It is found, in the case of a ring rate dynamic, that the level of connectivity plays a
remarkable role in the emergence of synchronized oscillatory solutions. In Chapter 3, a kinetic FitzHugh-
Nagumo equation is considered. The existence of solutions to this equation is analyzed and, by using a
perturbation argument, it is proved the nonlinear exponential convergence of the solutions in the weak
connectivity regime. Finally, by using the uniqueness of weak solutions, the chaos propagation property is
justied. It has to be remarked that the coecients of the mean-field equation are not globally Lipschitz,
which, in particular, improve the classical results. Moreover, the differential operator is hypodissipative:
an argument of semigroup decomposition is used to prove the convergence of the linear equation.
The second part is related to the study of the role of homeoproteins (HPs) on the robustness of boundaries
of functional areas. The HPs are transcriptional factors of developmental gens, known for having a
non-autonomous activity and the possibility to express themselves and to diffuse towards neighbouring
cells. In Chapter 4, it is proposed, based on two classical theories of morphogenesis, a general model
for neuronal development. The model describes the competition between two HPs with weak diffusivity.
By the analysis of the stationary solutions in the autonomous case, it is demonstrated that in the absence
of diffusion, the HPs are expressed on irregular areas. But in presence of diffusion, even arbitrarily
small, boundaries well defined emerge. In Chapter 5, a more general model in the one dimensional case
is considered where the existence of monotonic stationary solutions dening a unique intersection point
can be showed. Moreover, when the diusivity coecient goes to zero, it is proved that the stationary
solutions converge to a unique solution of an autonomous dynamical system with a unique discontinuity
point. This discontinuity point is characterised as the only spatial point where the speed of a particular
traveling wave is zero.
Finally, in the third part, a particle system for a subcritical Keller-Segel equation is the object of
study. It is shown the chaos propagation without any restriction on the force kernel. Moreover, by using
the notion of renormalised solutions of PDEs, it is demonstrated that the propagation of chaos is in the
stronger sense of entropic chaos propagation.
Ce travail est consacre a l'etude de quelques questions mathematiques issues de la modelisation des
systemes biologiques en combinant des outils analytiques et probabilistes. Il est principalement lie a:
(1) la modelisation mathematique et l'analyse des reseaux neuronaux, (2) le role de la diffusion des
homeoproteines dans la morphogenese et (3) la propriete de propagation du chaos pour un systeme de
particules pour une equation de Keller-Segel sous-critique.
Dans la premiere partie, nous nous interessons a la propagation du chaos et au comportement en temps
long des solutions des equations de champ moyen. Plus precisement, nous nous interessons a la derivation
des equations de champ moyen associees aux reseaux de neurones, ainsi qu'a l'etude de la convergence
vers l'equilibre des solutions des equations limites. Tout d'abord, dans le Chapitre 2, nous utilisons la
methode de couplage pour demontrer la propagation du chaos pour un reseaux neuronal avec delais et
avec une architecture aleatoire. La principale nouveaute est de considerer delais et poids synaptiques
correles, comme ceci est le cas dans les reseaux biologiques ou les neurones proches anatomiquement sont
plus fortement connectes. Ceci nous permet de montrer, dans le cas d'une dynamique de type taux de
decharge, que le niveau de connectivite joue un role remarquable dans l'emergence de solutions oscillantes
synchonisees. Dans le Chapitre 3, nous considerons une equation cinetique du type FitzHugh-Nagumo.
Nous analysons l'existence de solutions a cette equation et, en utilisant un argument de perturbation,
prouvons la convergence exponentielle de l'equation non lineaire dans les regimes de faible connectivite.
Enn, en utilisant l'unicite de la solution faible, nous justions la propagation du chaos. Il est a noter
que les coecients de l'equation de champ moyen ne sont pas globalement Lipschitziens, ce qui ameliore
en particulier les resultats classiques. En outre, l'operateur dierentiel est hypodissipatif: nous utilisons
un argument de decomposition du semigroupe pour prouver la convergence de l'equation linfaire.
Dans la deuxieme partie, nous etudions le role des homeoproteines (HPs) sur la robustesse des bords
des aires fonctionnelles. Les HPs sont des facteurs de transcription des genes du developpement connus
pour avoir une activite non-autonome et la possibilite de se faire exprimer dans les cellules voisines par
diusion. Dans le Chapitre 4, nous proposons, sur la base de deux theories classiques de la morphogenese,
un modele general du developpement neuronal. Le modele decrit la competition entre deux HPs avec faible
diffusion. Par l'analyse des solutions stationnaires dans le cas autonome, nous prouvons qu'en l'absence
de diffusion, les HPs sont exprimees dierentiellement dans des regions irregulieres. Mais en pressence de
diffusion, meme arbitrairement faible, des frontieres bien definies entre les dierentes zones fonctionnelles
emergent. Dans le Chapitre 5, nous considerons le modele general dans le cas unidimensionnel et prouvons
l'existence de solutions stationnaires monotones denissant un point d'intersection unique aussi faible que
soit le coecient de diusion. De plus, quand le coecient de diffusion tend vers zero, nous prouvons
que les solutions stationnaires convergent vers une solution d'un systeme dynamique autonome qui a
un unique point de discontinuite caracterise comme l'unique point de l'espace ou la vitesse d'une onde
progressive particuliere s'annule.
Enfin, dans la troisieme partie, nous etudions un systeme de particules pour une equation de Keller-
Segel sous-critique. Nous demontrons la propagation du chaos sans aucune restriction sur le noyau de
force. En outre, en utilisant la notion de solutions de renormalisation pour les EDP, nous demontrons
que la propagation du chaos a lieu dans le sens plus fort de chaos entropique.
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