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Thèse Année : 2004

Dynamics of free groups automorphisms

Dynamique des automorphismes des groupes libres

Arnaud Hilion

Résumé

Dynamics of free groups automorphisms
Cette thèse est consacrée à l'étude de la dynamique de l'homéomorphisme $\partial\phi$ induit par un automorphisme $\phi$ du groupe libre $F_N$ sur son bord $\partial F_N$. Je m'intéresse aux automorphismes $\phi$ de $F_N$ tels que les points périodiques de $\phi$ et $\partial\phi$ sont en fait des points fixes (tout automorphisme possède une puissance qui vérifie cette propriété). Je montre que l'ensemble $L_\phi^+$ des points d'accumulation des suites $\partial\phi^k(X)$ (où $X$ décrit les points de $\partial F_N$ non fixés par $\partial\phi$) est fini modulo l'action du sous-groupe fixe $\Fix\phi$ par translation à gauche. De plus, lorsqu'un tel point est dans le bord du sous-groupe fixe, j'obtiens qu'il est rationnel. La preuve repose sur une étude minutieuse d'un arbre réel $\phi$-invariant (au sens de Levitt-Lustig), et demande un travail technique préalable sur les train-tracks relatifs améliorés de Bestvina-Feighn-Handel. Ce résultat me permet de construire un nouvel invariant pour un automorphisme $\phi$ de $F_N$ (dont les points périodiques sont fixes): son graphe dynamique $\Gamma_\phi$. Je donne une description des graphes dynamiques que l'on obtient pour des automorphismes induits par des homéomorphismes pseudo-Anosov de surfaces à bord. J'étudie en détail la dynamique des automorphismes de $F_2$. Je donne aussi un exemple d'automorphisme $\phi$ de $F_4$ possédant une orbite parabolique, ie pour lequel il existe un point $X$ du bord tel que $\lim_{k\rightarrow +\infty} \partial\phi^k(X) = \lim_{k\rightarrow +\infty}\partial\phi^{-k}(X)$. Par ailleurs, je démontre que le stabilisateur dans $\Aut(F_N)$ d'un point fixe attractif d'un automorphisme à puissances irréductibles est infini cyclique. J'en déduis que le stabilisateur dans $\Aut(F_2)$ d'un point $X\in\partial F_2$ non rationnel est soit trivial, soit infini cyclique; et je donne, à isomorphisme près, la liste des sous-groupes de $\Aut(F_2)$ obtenus comme stabilisateurs d'un point de $\partial F_2$.
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Dates et versions

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  • HAL Id : tel-01218364 , version 1

Citer

Arnaud Hilion. Dynamique des automorphismes des groupes libres. Théorie des groupes [math.GR]. Université Toulouse III, 2004. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01218364⟩
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