Some advances in PGD-based Model Reduction for High order PDEs, Complex Geometries and Solution of the Unsteady Navier-Stokes Equations
Des avancées dans la réduction de modèle de type PGD pour les EDPs d’ordre élevé, le traitement des géométries complexes et la résolution des équations de Navier-Stokes instationnaires
Résumé
The main purpose of this work is to describe a simulation method for the use of a
PGD-based Model reduction Method (MOR) for solving high order partial differential
equations. First, the PGD method is used for solving fourth order PDEs and the
algorithm is illustrated on a lid-driven cavity problem. Transformations of coordinates
for changing the complex physical domain into the simple computational domain are
also studied, which lead to extend the spatial PGD method to complex geometry
domains. Some numerical examples for different kinds of domain are treated to
illustrate the potentialities of this methodology.
Finally, a PGD-based space-time separation is introduced to solve the unsteady
Stokes or Navier-Stokes equations. This decomposition makes use of common tem-
poral modes for both velocity and pressure, which lead to velocity spatial modes
satisfying individually the incompressibility condition. The adaptation and imple-
mentation of a PGD approach into a general purpose finite volume framework is
described and illustrated on several analytic and academic flow examples. A large
reduction of the computational cost is observed on most of the treated examples.
L’objectif principal de ce travail est de proposer une nouvelle approche de simulation
basée sur une Méthode de réduction du modèle (MOR) utilisant une décomposition
PGD. Dans ce travail, cette approche est d’abord utilisée pour résoudre des équations
aux dérivées partielles d’ordre élevé avec un exemple numérique pour les équations aux
dérivées partielles du quatrième ordre sur le problème de la cavité entraînée. Ensuite
un changement de coordonnées pour transformer le domaine physique complexe en
un domaine de calcul simple est étudié, ce qui conduit à étendre la méthode PGD
au traitement de certaines géométries complexes. Divers exemples numériques pour
différents types de domaines géométriques sont ainsi traités avec l’approche PGD.
Enfin, une séparation espace-temps est proposée pour résoudre les équations de
Navier-Stokes instationnaires à l’aide d’une approche PGD. Cette décomposition
est basée sur le choix de modes temporels communs pour la vitesse et la pression,
ce qui conduit à une décomposition basée sur des modes spatiaux satisfaisant in-
dividuellement la condition d’incompressibilité. L’adaptation d’une formulation
volumes finis à cette décomposition PGD est présentée et validée sur de premiers
exemples analytiques ou académiques pour les équations de Stokes ou Navier-Stokes
instationnaires. Une importante réduction des temps calculs est observée sur les
premiers exemples traités.
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