Geometry of tensor spaces - An effective approach applied to continuum mechanics
Géométrie des espaces de tenseurs - Une approche effective appliquée à la mécanique des milieux continus
Résumé
Tensorial formulation of mechanical constitutive equations is a very important matter
in continuum mechanics. For instance, the space of elastic tensors is a subspace of 4th
order tensors with a natural SO(3) group action. More generaly, we have to study the
geometry of a tensor space defined on R 3 , under O(3) group action.
To describe such a geometry, we first have to exhibit its isotropy classes, also named
symetry classes. Indeed, each tensor space possesses a finite number of isotropy classes.
In this present work, we propose an original method to obtain isotropy classes of a given
tensor space. As an illustration of this new method, we get for the first time the isotropy
classes of a 8th order tensor space occuring in second strain-gradient elasticity theory.
In the case of a real representation of a compact group, invariant algebra seperates
the orbits. This observation motivates the purpose to find a finite generating set of poly-
nomial invariants. For that purpose, we make use of the link between tensor spaces and
spaces of binary forms, which belongs to the classical invariant theory. We thus have to
deal with SL(2, C) group action. To obtain new results, we have reformulated and rein-
terpreted effective approaches of Gordan’s algorithm, developped during XIXth century.
We then obtain for the first time a minimal generating family of elasticity tensor space,
and a generating family of piezoelectricity tensor space. Using linear algebra arguments,
we were also able to get important relations of classical invariant theory, such as the
Gordan’s series and the Abdesselam–Chipalkatti’s quadratic relations on transvectants.
Plusieurs lois de comportement mécaniques possèdent une formulation tensorielle,
comme c’est par exemple le cas pour l’étude des matériaux élastiques. Dans ce cas in-
tervient un sous-espace de tenseurs d’ordre 4, noté Ela et appelé espace des tenseurs
d’élasticité. Les questions de classification des matériaux élastiques passent alors par la
nécessité de décrire les orbites de l’espace Ela sous l’action du groupe SO(3). Plus gé-
néralement, on est amené à étudier la géométrie d’un espace de tenseurs sur R^3 , via
l’action du groupe O(3).
Cette géométrie est tout d’abord caractérisée par ses différentes classes d’isotropies,
encore appelées classes de symétries. Chaque espace de tenseurs possède en effet un
nombre fini de classes d’isotropies. Nous proposons dans notre travail une méthode ori-
ginale et générale pour obtenir les classes d’istropie d’un espace de tenseurs quelconque.
Nous avons ainsi pu obtenir pour la première fois les classes d’isotropie d’un espace de
tenseurs d’ordre 8 intervenant en théorie de l’élasticité linéaire du second-gradient de la
déformation.
Dans le cas d’une représentation réelle d’un groupe compact, l’algèbre des polynômes
invariants sépare les orbites, ce qui motive donc la recherche d’une famille génératrice
minimale de polynômes invariants. Celle-ci se fait en exploitant le lien existant entre
les espaces de tenseurs et les espaces de formes binaires et plus précisément la théorie
classique des invariants. On ne fait donc plus intervenir le groupe SO(3) mais le groupe
SL(2, C). Nous avons ainsi repris et ré-interprété les approches effectives de cette théo-
rie, notamment développées par Gordan au XIX e siècle. Cette ré-interprétation nous a
permis d’obtenir de nombreux résultats, notamment la détermination d’une famille gé-
nératrice minimale d’invariants pour l’élasticité mais aussi pour la piézoélectricté. No-
tons aussi que nous avons pu retrouver d’une façon simple des relations importantes
intervenant en théorie classique des invariants, à savoir les fameuses séries de Gordan,
ainsi que des relations plus récentes d’Abdesselam–Chipalkatti sur les transvectants de
formes binaires.
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