Adaptive estimators with structured sparsity
Estimateurs adaptatifs avec parcimonie structurée
Résumé
This thesis presents new statistical procedures in a non-parametric framework and studies both their theoretical and empirical properties. Our works are devoted to two different topics which have in common the indirect observation of the unknown functional parameter. The first part is dedicated to a block thresholding estimation procedure for the Gaussian white noise model. We focus on the adaptive estimation of a signal f and its derivatives from n blurred and noisy versions of the signal and prove that our estimator achieve the optimal minimax rate over a wide class of balls Besov. Then, we propose an adaptive estimation procedure for selecting the parameters of the estimator in an optimal way by minimizing an unbiased estimator of risk. In the second part, we consider the context of the density model in which the unknown function undergoes a given transformation before being observed. We construct and study an adaptive estimator based on a on a plug-in approach and the wavelets methodology. Finally, we focus on the problem of estimating the convolution of densities. We propose an adaptive estimator based on kernel methods, Fourier analysis and the Lepski method. We study the L2-risk properties of the estimator. Fast and new rates of convergence are determined for a wide class of unknown functions. Each estimation method is numerically analyzed by simulation, both simulated and real data.
Cette thèse présente de nouvelles procédures statistiques dans un cadre non-paramétrique et étudie à la fois leurs propriétés théoriques et empiriques. Nos travaux portent sur deux sujets différents qui ont pour point commun l'observation indirecte du paramètre fonctionnel inconnu. La première partie est consacrée à une procédure d'estimation de type seuillage par blocs pour le modèle de bruit blanc gaussien. Nous nous intéressons à l'estimation adaptative d'un signal f et des ses dérivées à partir de n versions floutées et bruitées de ce signal et prouvons que notre estimateur atteint une vitesse de convergence (quasi-)optimale sur une large classe de boules de Besov. Puis, nous proposons une procédure adaptative d'estimation permettant de sélectionner les paramètres de l'estimateur de manière optimale en minimisant un estimateur sans biais du risque. Dans la deuxième partie, nous nous plaçons dans le cadre du modèle de densité au sein duquel la fonction inconnue subit une transformation donnée avant d'être observée. Nous construisons et étudions un estimateur adaptatif basé sur une approche plug-in et un seuillage dur en ondelettes par blocs. Enfin, nous étudions le problème d'estimer la convolution d'ordre m d'une densité à partir d'observations i.i.d. tirées dans la loi sous-jacente. Nous proposons un estimateur adaptatif fondé sur des noyaux, de l'analyse de Fourier et la méthode de Lepski. Nous étudions son risque quadratique et des vitesses nouvelles et rapides sont obtenues, pour une vaste classe de fonctions inconnues. Chaque méthode d'estimation étudiée est analysée numériquement par simulations, à la fois sur données simulées et sur données réelles.