Quasi-reversibility and level set methods applied to elliptic inverse problems
Méthodes de quasi-réversibilité et de lignes de niveau appliquées aux problèmes inverses elliptiques.
Résumé
This work considers the quasi-reversibility method for solving some inverse problems, a typical example being the inverse obstacle problem. We propose for the latter a new approach that couples the quasi-reversibility method and a level set method. More precisely, from a candidate open domain C, we solve a Cauchy problem outside C, and then update C using the level set method. The approximated solution of the Cauchy problem is obtained by using the quasi-reversibility method introduced by J.L. Lions and R. Lattès in the sixties. We propose different formulations of this method, as well as its discretization by nonconforming finite elements adapted to the framework of Sobolev space H2, and we prove the convergence of the finite elements. In the presence of noisy data, we introduce a new method based on duality in optimization and the Morozov's discrepancy principle. We establish a relationship between this method and the quasi-reversibility; in particular, we show that it provides regularized data and a relevant regularization parameter that increase the efficiency of quasi-reversibility. Regarding the update of the open domain C, we propose two very different level set approaches: one is based on an eikonal equation, the other on a Poisson equation. We prove that this two approaches guarantee convergence to the obstacle. Finally, we present numerical results for this coupled quasi-reversibility/level set approach in different situations: inverse obstacle problem with Dirichlet condition, detection of some defects in an elastoplastic structure...
Ce travail s'intéresse à l'utilisation de la méthode de quasi-réversibilité pour la résolution de problèmes inverses, un exemple typique étant le problème inverse de l'obstacle. Nous proposons pour ce dernier une nouvelle approche couplant la méthode de quasi-réversibilité et une méthode de lignes de niveau. Plus précisément, à partir d'un ouvert candidat C, nous résolvons un problème de Cauchy à l'extérieur de C, puis nous mettons à jour cet ouvert par la méthode de lignes de niveau. La solution approchée du problème de Cauchy est obtenue en utilisant la méthode de quasi-réversibilité, introduite par J.L. Lions et R. Lattès dans les années soixante. Nous proposons différentes formulations de cette méthode, ainsi que sa discrétisation par éléments finis non conformes adaptés à l'espace de Sobolev H2, et nous prouvons la convergence des éléments finis. En présence d'une donnée bruitée, nous introduisons une nouvelle méthode basée sur la dualité en optimisation et le principe de Morozov. Nous montrons que cette méthode fournit des données régularisées et un choix de paramètre de régularisation pertinent pour la quasi-réversibilité. En ce qui concerne la mise à jour de l'ouvert C, nous proposons deux méthodes de lignes de niveau très différentes : la première est basée sur une équation eikonale, la seconde sur une équation de Poisson. Nous prouvons que ces deux approches assurent la convergence vers l'obstacle. Finalement, nous présentons des résultats numériques pour cette approche couplant quasi-réversibilité/lignes de niveau dans différentes situations : problème inverse de l'obstacle avec condition de Dirichlet, détection de défauts dans une structure élasto-plastique...