Enhancing physical consistency in stochastic optimization for adjoint-based inverse problems: Application to compressible RANS simulations in the discontinuous Galerkin framework
Amélioration de la consistance physique dans l'optimisation stochastique pour les problèmes inverses basés sur les adjoints : application aux simulations RANS compressibles dans le cadre de Galerkin discontinu
Résumé
This work explores the use of quasi-Newton and stochastic optimization methods for gradientbased inverse problems in physical modeling, focusing on their application within high-order numerical frameworks. Such problems are often characterized by the following challenges: (i) physical constraints often yield a highly non-convex design space with multiple local optima; (ii) solutions must satisfy intrinsic properties, such as boundary and regularity conditions, which are not easily enforced as explicit constraints. Conventional stochastic optimizers, such as N-ADAM, exhibit significant information loss in their update rules, leading to non-physical solutions. To overcome these limitations, we introduce a novel stochastic optimizer, V-N-ADAM-DG, which incorporates adjoint-state information into the update rule to maintain physically meaningful corrections in terms of regularity and boundary conditions. We validate our approach in the context of mean-flow reconstruction for Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) simulations using a high-order discontinuous Galerkin (DG) discretization method, as proposed by Fanizza et al. (2025). The optimization framework considers both vectorial corrective terms, inferred in the momentum and energy equations, and scalar corrective terms in the Spalart-Allmaras (SA) transport equation. The V-N-ADAM-DG optimizer effectively reconstructs mean flow quantities while ensuring smooth transitions of corrective parameters at boundaries, an improvement over standard stochastic optimizers. Additionally, it facilitates a rapid decay of the optimal degrees of freedom (DOFs), leading to smoother corrections in high-order reconstructions-achieving a balance between the robustness of quasi-Newton methods (such as L-BFGS) and the flexibility of stochastic approaches. Numerical experiments across various flow configurations demonstrate that V-N-ADAM-DG consistently outperforms both L-BFGS and N-ADAM, particularly in complex inverse problems that employ multiple combined cost functions to reconstruct different physical quantities.
Ce travail explore l'utilisation de méthodes d'optimisation quasi-Newton et stochastiques pour les problèmes inverses basés sur le gradient dans la modélisation physique, en se concentrant sur leur application au sein de frameworks numériques d'ordre élevé. Ces problèmes sont souvent caractérisés par les défis suivants : (i) les contraintes physiques engendrent généralement un espace de conception fortement non convexe avec plusieurs optima locaux ; (ii) les solutions doivent satisfaire des propriétés intrinsèques, telles que des conditions aux limites et de régularité, qui ne sont pas facilement imposées comme contraintes explicites. Les optimiseurs stochastiques conventionnels, tels que N-ADAM, présentent une perte d'information significative dans leurs règles de mise à jour, conduisant à des solutions non physiques. Pour surmonter ces limites, nous introduisons un nouvel optimiseur stochastique, V-N-ADAM-DG, qui intègre l'information d'état adjoint dans la règle de mise à jour pour maintenir des corrections physiquement significatives en termes de régularité et de conditions aux limites. Nous validons notre approche dans le contexte de la reconstruction du flux moyen pour les simulations de Navier-Stokes moyennées sur Reynolds (RANS) en utilisant une méthode de discrétisation Galerkin discontinue d'ordre élevé, telle que proposée par Fanizza et al. (2025). Le framework d'optimisation prend en compte à la fois des termes correctifs vectoriels, inférés dans les équations de quantité de mouvement et d'énergie, et des termes correctifs scalaires dans l'équation de transport Spalart-Allmaras (SA). L'optimiseur V-N-ADAM-DG reconstruit efficacement les grandeurs du flux moyen tout en assurant des transitions lisses des paramètres correctifs aux limites, une amélioration par rapport aux optimiseurs stochastiques standard. De plus, il facilite une décroissance rapide des degrés de liberté (DL) optimaux, conduisant à des corrections plus lisses dans les reconstructions d'ordre élevé — atteignant un équilibre entre la robustesse des méthodes quasi-Newton (comme L-BFGS) et la flexibilité des approches stochastiques. Des expériences numériques sur diverses configurations d'écoulement démontrent que V-N-ADAM-DG surpasse systématiquement à la fois L-BFGS et N-ADAM, en particulier dans les problèmes inverses complexes qui emploient plusieurs fonctions de coût combinées pour reconstruire différentes grandeurs physiques.
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