Pré-Publication, Document De Travail Année : 2025

Scaling Limits of Line Models in Degenerate Environment

Limites d'échelle de modèles de lignes en environnement dégénéré

Scaling Limits of Line Models in Degenerate Environment

Résumé

We consider a 2-dimensional model of random walk in random environment known as line model. The environment is described by two independent families of i.i.d. random variables dictating rates of jumps in vertical, respectively horizontal directions, and whose values are constant along vertical, respect. horizontal lines. When jump rates are heavy-tailed in one of the directions, and given by the increments of a stable process, we prove that the random walk becomes superdiffusive in that direction, with an explicit scaling limit written as a two-dimensional Brownian motion time-changed (in one of the components) by a process introduced by Kesten and Spitzer in 1979. In the case of a fully degenerate environment, a sufficient condition for non-explosion is provided, and conjectures on the associated scaling limit are formulated.

Nous considérons un modèle de marche aléatoire en milieu aléatoire bi-dimensionnel appelé modèle de lignes. L'environnement est constitué de deux familles indépendantes de variables aléatoires i.i.d. strictement positives fournissant les taux de sauts dans les directions verticales, respectivement horizontales, et dont les valeurs sur les lignes verticales, respectivement horizontales, sont constantes. Lorsque les taux de saut dans l'une des directions sont à queues lourdes, et donnés par les incréments d'un processus stable, nous prouvons que la marche aléatoire devient super-diffusive dans cette direction, avec une limite d'échelle explicite s'écrivant comme un mouvement brownien bi-dimensionnel changé de temps (dans l'une de ses composantes) par un processus introduit par Kesten et Spitzer en 1979. Dans le cas d'un environnement entièrement dégénéré, nous prouvons une condition suffisante pour la non-explosion du processus, et formulons des conjectures quant à la limite d'échelle associée.

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hal-05395354 , version 1 (28-12-2025)

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Citer

Jean-Dominique Deuschel, Henri Elad Altman. Scaling Limits of Line Models in Degenerate Environment. 2025. ⟨hal-05395354⟩
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