Pré-Publication, Document De Travail Année : 2025

Unidimensional semi-discrete partial optimal transport

Transport optimal partiel semi-discret en dimension un

Adrien Cances
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 1581790
Hugo Leclerc

Résumé

We study the semi-discrete formulation of one-dimensional partial optimal transport with quadratic cost, where a probability density is partially transported to a finite sum of Dirac masses of smaller total mass. This problem arises naturally in applications such as risk management, the modeling of crowd motion, and sliced partial transport algorithms for point cloud registration. Unlike higher-dimensional settings, the dual functional in the unidimensional case exhibits reduced regularity. To overcome this difficulty, we introduce a regularization procedure based on thickening the density along an auxiliary dimension. We prove that the maximizers of the regularized dual problem converge to those of the original dual problem, with quadratic rate in the introduced thickness. We further provide a numerical scheme that leverages the regularized functional, and we validate our analysis with simulations that confirm the quadratic convergence rate. Finally, we compare the semi-discrete and fully discrete settings, demonstrating that our approach offers both improved stability and computational efficiency for unidimensional partial transport problems.

Nous étudions la formulation semi-discrète du transport optimal partiel unidimensionnel avec coût quadratique, où une densité de probabilité est partiellement transportée vers une somme finie de masses de Dirac de masse totale plus petite. Ce problème apparaît naturellement dans des applications telles que la gestion des risques, la modélisation des mouvements de foule, ou encore les algorithmes de transport partiel par coupe (sliced) pour le recalage de nuages de points. Contrairement au cas multidimensionnel, la fonctionnelle duale du problème unidimensionnel présente une régularité limitée. Pour surmonter cette difficulté, nous introduisons une procédure de régularisation fondée sur l'épaississement de la densité le long d'une dimension auxiliaire. Nous montrons que les maximiseurs du problème dual régularisé convergent vers ceux du problème initial, avec un taux quadratique en l'épaisseur introduite. Nous présentons en outre un schéma numérique basé sur la fonctionnelle régularisée, et validons notre analyse par des simulations confirmant ce taux de convergence quadratique. Enfin, nous comparons les cadres semi-discret et discret-discret, et mettons en évidence que notre approche améliore aussi bien la stabilité que l'efficacité de calcul pour les problèmes de transport partiel en dimension un.

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hal-05252228 , version 1 (12-09-2025)

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Adrien Cances, Hugo Leclerc. Unidimensional semi-discrete partial optimal transport. 2025. ⟨hal-05252228⟩
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