On the relationship between ultrasonic attenuation and Brillouin linewidths: for a re-definition of the phonon lifetime
À propos de la relation entre l'atténuation ultrasonique et les largeurs de raies de Brillouin: pour une redéfinition du temps de vie des phonons
Résumé
In a crystal, the sound amplitude attenuation α_ℓ of acoustic waves of the mode ℓ(k,s) of wave vector k and branch s, in a frequency range where the dispersion is linear (k= ω/v_s), is directly related to the relaxation time of a large deviation from equilibrium of the number n_ℓ of phonons of mode ℓ: α_ℓ = 1/2θ_ℓv_s. According to both accepted classical et quantum theories of light scattering, the Brillouin backscattered light by a weakly anharmonic and transparent crystal has a Lorentzian distribution with full width at half maximum (FWHM) ∆ω ~1/θ_ℓB, where ℓB is the longitudinal acoustic mode of the phonon emitted or absorbed by a scattered photon. Since the 1960’s, θ_ℓ is commonly referred to in the literature as the phonon lifetime. A term we will reserve for a lifetime τ_ℓ defined as the reciprocal of the probability per unit time of a simple transition n_ℓ →n_ℓ ±1 resulting from crystal anharmonicity and, by virtue of the quantum uncertainty relation for energy, we argue that the Brillouin line-widths ∆ω ~1/τ_ℓB. In usual backscattering experiments at room temperature, τ_ℓB is about three orders magnitude smaller than θ_ℓB.
As briefly reported in Sec. III we have reviewed and amended the classical theory of Brillouin scattering by making allowance for the crystal opacity, and expected random phase jumps of the scattered electric field at the rate 2/τ_ℓ. The lines are shown to be still Lorentzians, whose FWHM ∆ω is the sum ∆ω_1 +∆ω_2 of a phonon lifetime broadening ∆ω_1 = 4/τ_ℓB and of an opacity broadening ∆ω_2 = 2βv_s, where β is the crystal absorption coefficient at the wavelength of the incident light. Our conclusions are fully supported in silicon at 300 K by the comparison of experimental and theoretical values of the attenuation with those derived from the Brillouin spectrum recorded by Olsson et al. (2015).
Dans un cristal, l'atténuation d'amplitude sonore α_ℓ des ondes acoustiques du mode ℓ(k,s) du vecteur d'onde k et de la branche s, dans une gamme de fréquences où la dispersion est linéaire (k= ω/v_s), est directement liée au temps de relaxation d'un écart important par rapport à l'équilibre du nombre n_ℓ de phonons du mode ℓ : α_ℓ = 1/2θ_ℓv_s. Selon les théories classiques et quantiques reconnues de la diffusion de la lumière, la lumière rétrodiffusée par Brillouin par un cristal faiblement anharmonique et transparent a une distribution lorentzienne avec une largeur à mi-hauteur (FWHM) ∆ω ~1/θ_ℓB, où ℓB est le mode acoustique longitudinal du phonon émis ou absorbé par un photon diffusé. Depuis les années 1960, θ_ℓ est communément appelé dans la littérature « durée de vie des phonons ». Nous réserverons ce terme pour désigner une durée de vie τ_ℓ définie comme l'inverse de la probabilité par unité de temps d'une transition simple n_ℓ →n_ℓ ±1 résultant de l'anharmonicité du cristal et, en vertu du principe d'incertitude quantique pour l'énergie, nous affirmons que les largeurs de raie de Brillouin ∆ω ~1/τ_ℓB. Dans les expériences habituelles de rétrodiffusion à température ambiante, τ_ℓB est environ trois ordres de grandeur plus petit que θ_ℓB.
Comme indiqué brièvement dans la section III, nous avons revu et modifié la théorie classique de la diffusion Brillouin en tenant compte de l'opacité du cristal et des sauts de phase aléatoires attendus du champ électrique diffusé à un taux de 2/τ_ℓ. Les raies s'avèrent toujours lorentziennes, leur FWHM ∆ω étant la somme ∆ω_1 +∆ω_2 d'un élargissement dû à la durée de vie des phonons ∆ω_1 = 4/τ_ℓB et d'un élargissement dû à l'opacité ∆ω_2 = 2βv_s, où β est le coefficient d'absorption du cristal à la longueur d'onde de la lumière incidente. Nos conclusions sont pleinement corroborées dans le silicium à 300 K par la comparaison des valeurs expérimentales et théoriques de l'atténuation avec celles dérivées du spectre de Brillouin enregistré par Olsson et al. (2015).
Domaines
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