Pré-Publication, Document De Travail Année : 2025

Asymptotic Expansion of passage probability for finite-range random walk on Free Groups.

Développement asymptotique de probabilité de passage pour des marches aléatoires à pas borné sur des groupes libres.

Résumé

Given a finite-range random walk on a finitely generated free group , what is the asymptotic behaviour, as the number of steps goes to infinity, of the sequence of probabilities that the random walk is at a given element of the group? In this article, we answer this question by providing an asymptotic expansion to any order for the sequence of probabilities that an irreducible finite-range random walk on an infinite tree with bounded valence is at a given vertex (See the Theorem 6.10). We will work under the assumption that each vertex of the tree has valence greater than or equal to three, and we will assume that the tree is endowed with a cofinite action of an automorphism group preserving the step distribution. The answer to the above question will appear as an immediate Corollary of the previously mentioned Theorem. This article is part of a triptych with [Che25a] and [Che25c]. It relies on Tauberian results from [Che25a], used throughout the text to derive asymptotic expansions. The careful study of the objects introduced in this text is done in [Che25c]

Étant donnée une marche aléatoire à pas borné sur un groupe libre finiment engendré, quel est le comportement asymptotique, lorsque le nombre de pas tend vers l’infini, de la suite des probabilités que la marche aléatoire se trouve en un élément donné du groupe ? Dans cet article, nous répondons à cette question en fournissant un développement asymptotique à tout ordre de la suite des probabilités qu'une marche aléatoire irréductible à pas borné sur un arbre infini de valence bornée se trouve en un sommet donné (voir le Théorème 6.10). Nous travaillerons sous l’hypothèse que chaque sommet de l’arbre a une valence supérieure ou égale à trois, et que l’arbre est muni d’une action cofini d’un groupe d’automorphismes préservant la distribution des pas. La réponse à la question ci-dessus apparaîtra alors comme un corollaire immédiat du théorème précédemment mentionné. Cet article fait partie d’un triptyque avec [Che25a] et [Che25c]. Il s’appuie sur les théorèmes Taubériens développés dans [Che25a], utilisés tout au long du texte pour obtenir les développements asymptotiques. L’étude précise des objets introduits dans ce texte est effectuée dans [Che25c].

Fichier principal
Vignette du fichier
Asymptotic.pdf (917.55 Ko) Télécharger le fichier
Origine Fichiers produits par l'(les) auteur(s)
Licence

Dates et versions

hal-05160387 , version 1 (18-07-2025)

Licence

Identifiants

  • HAL Id : hal-05160387 , version 1

Citer

Guillaume Chevalier. Asymptotic Expansion of passage probability for finite-range random walk on Free Groups.. 2025. ⟨hal-05160387⟩
58 Consultations
199 Téléchargements

Partager

  • More