THE EIGENVALUE PROBLEM FOR THE COMPLEX MONGE-AMPÈRE OPERATOR
Le problème des valeurs propres pour l'opérateur de Monge-Ampère complexe
Résumé
We prove the existence of the first eigenvalue and an associated eigenfunction with Dirichlet condition for the complex Monge-Ampère operator on a bounded strongly pseudoconvex domain in C^n. We show that the eigenfunction is plurisubharmonic, smooth with bounded Laplacian in Ω and boundary values 0. Moreover it is unique up to a positive multiplicative constant. To this end, we follow the strategy used by P.L. Lions in the real case. However, we have to prove a new theorem on the existence of solutions for some special complex degenerate Monge-Ampère equations. This requires establishing new a priori estimates of the gradient and Laplacian of such solutions using methods and results of L. Caffarelli, J.J. Kohn, L. Nirenberg and J. Spruck [9] and B. Guan [21]. Finally we provide a Pluripotential variational approach to the problem and using our new existence theorem, we prove a Rayleigh quotient type formula for the first eigenvalue of the complex Monge-Ampère operator.
Nous démontrons l'existence de la première valeur propre et d'une fonction propre associée avec condition de Dirichlet pour l'opérateur de Monge-Ampère complexe sur un domaine borné strictement pseudo convexe de C^n. Nous montrons que la fonction propre est plurisousharmonique, lisse d et de Laplacian borné sur le domaine et de valeurs au bord nulle. De plus elle est unique à une constante positive multiplicative près. Pour ce faire nous suivons la stratégie de P.-L. Lions dans le cas réel. Cependantnous devons prouver un nouveau théorème d'existence de solutions pour certaines équations de Monge-Ampère complexe dégénérées. Cela exige d'établir de nouvelles estimées a priori pour de telles équations en utilisant les méthodes de L. Caffarelli, J.J. Kohn, L. Nirenberg et J. Spruck [9] et B. Guan [21]. Enfin nous développons une méthode variationnelle et utilisant notre nouveau théorème nous établissons une formule de type quotient de Rayleigh pour la première valeur propre de l'opérateur de Monge-Ampère complexe.
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