Advancing beyond FEM: the Mixed Bodies Multi Shooting Method (MBMSM) for the modeling of static slender elements
Résumé
This article introduces a novel approach termed "Mixed Bodies Multi Shooting Method" (MBMSM) for solving two-point boundary value problems in the statics of wires and beams, as an alternative to finite element methods (FEM). The MBMSM extends the classical multiple shooting method by incorporating static rigid bodies on which slender structures are connected through kinematic joints. This innovation enables efficient handling of geometric, material, and force discontinuities, as well as complex assemblies of slender bodies. Consequently, the MBMSM benefits from the accuracy and computational speed advantages of shooting methods. The method is developed for both 3D nonlinear kinematics of wires (deformation along the neutral axis only) and beams (Cosserat). In the case of beams, the method utilizes Modified Rodrigues Parameters (MRP) and their dual to parameterize rotations in large displacements, employing an MRP/SMRP switching algorithm to manage orientation singularities. Boundary conditions are reformulated in terms of kinematic and static constraints. An adaptive step integrator optimizes the number of integration points while maintaining accuracy. The MBMSM has been validated through numerous examples from the literature, demonstrating its accuracy and versatility for nonlinear static analysis of 3D slender structures.
Cet article présente une nouvelle approche appelée « Mixed Bodies Multi Shooting Method » (MBMSM) pour résoudre les problèmes de valeur limite en deux bouts de la statique des fils et des poutres, en tant qu'alternative aux méthodes d'éléments finis (FEM). La MBMSM étend la méthode classique de tir simple et multiple en incorporant des corps rigides statiques sur lesquels des structures élancées sont connectées par des liaisons cinématiques. Cette innovation permet de traiter efficacement les discontinuités géométriques, matérielles et de force, ainsi que les assemblages complexes de corps élancés. Comparée aux méthode FEM, la MBMSM bénéficie des avantages inhérents aux méthodes de tir en termes de précision et de vitesse de calcul. La méthode est développée pour la cinématique non linéaire 3D des fils (déformation le long de l'axe neutre uniquement) et des poutres (Cosserat). Dans le cas des poutres, la méthode utilise les Modified Rodrigues Parameers (MRP) et leur dual (SMRP) pour paramétrer les rotations dans les grands déplacements. Les singularités d’orientation sont traitées par commutation entre MRP et SMRP. Les conditions aux limites sont reformulées en termes de contraintes cinématiques et statiques. Un intégrateur adaptatif optimise le nombre de points d'intégration tout en maintenant la précision. Le MBMSM a été validé par de nombreux exemples tirés de la littérature, démontrant sa précision et sa polyvalence pour l'analyse statique non linéaire de structures élancées en 3D.
