From transient elastic linkages to friction: a complete study of a penalized fourth order equation with delay
Des liaison à mémoire vers la friction : une étude complète d'une équation pénalisée du quatrième ordre avec retard
Résumé
In this paper we consider a fourth order nonlinear parabolic delayed problem modelling a quasi-instantaneous turn-over of linkages in the context of cell-motility. The model depends on a small parameter $\epsilon$ which represents a typical time scale of the memory effect. We first prove global existence and uniqueness of solutions for $\epsilon$ fixed. This is achieved by combining suitable fixed-point and energy arguments and by uncovering a nonlocal in time, integral conserved quantity. After giving a complete classification of steady states in terms of elliptic functions, we next show that every solution converges to a steady state as $t \to \infty$. When $\epsilon \to 0$, we then establish convergence results on finite time intervals, showing that the solution tends in a suitable sense towards the solution of a parabolic problem without delay. Moreover, we establish the convergence of energies as $\epsilon \to 0$, which enables us to show that, for $\epsilon$ small enough, the $\epsilon$-dependent problem inherits part of the large time asymptotics of the limiting parabolic problem.
Dans cet article, nous considérons un problème parabolique avec retard, non linéaire et du quatrième ordre en espace,
modélisant le renouvellement quasi-instantané des liaisons élastiques dans le contexte de la motilité cellulaire. Le modèle dépend
d’un petit paramètre ε qui représente une échelle de temps typique de l’effet de mémoire. Nous commençons par prouver l’existence
globale et l’unicité des solutions pour ε fixé. Nous y parvenons en combinant des arguments de point fixe et d’énergie appropriés
et en exhibant une nouvelle quantité intégrale conservée mais non locale en temps. Après avoir donné une classification complète
des états stationnaires en termes de fonctions elliptiques, nous montrons que chaque solution converge vers un état stationnaire
lorsque t → ∞. Lorsque ε → 0, nous établissons alors des résultats de convergence sur des intervalles de temps finis, montrant
que la solution tend dans un sens approprié vers la solution d’un problème parabolique sans retard mais dans lequel un coefficient
de friction (sorte de résidu homogénéisé, dépendant de la variable spatiale néanmoins) multiplie la dérivée en temps. De plus,
nous établissons la convergence des énergies quand ε tend vers 0, ce qui nous permet de montrer que, pour ε suffisamment petit, le
problème ε-dépendant hérite d’une partie de l’asymptotique en temps grand du problème parabolique limite.