Isoperimetric and geometric inequalities in quantitative form: Stein's method approach
Inégalités isopérimétriques et géométriques sous forme quantitative : l'approche par la méthode de Stein
Résumé
We adapt Stein's method to isoperimetric and geometric inequalities. The main challenge is the treatment of boundary terms. We address this by using an elliptic PDE with an oblique boundary condition. We apply our geometric formulation of Stein's method to obtain stability of the Brock-Weinstock inequality, stability of the isoperimetric inequality under a constraint on Steklov's first non-zero eigenvalue, and stability for the combination of weighted and unweighted perimeters. All stability results are formulated with respect to the α-Zolotarev distance, α ∈ (0, 1], that we introduce to interpolate between the Fraenkel asymmetry and the Kantorovich distance.
Nous adaptons la méthode de Stein aux inégalités isopérimétriques et géométriques. La principale difficulté est le traitement des termes de bord. Nous y répondons en utilisant une EDP elliptique avec une condition de bord oblique. Nous appliquons notre formulation géométrique de la méthode de Stein pour obtenir la stabilité de l'inégalité de Brock-Weinstock, la stabilité de l'inégalité isopérimétrique sous une contrainte sur la première valeur propre non nulle de Steklov, et la stabilité pour la combinaison de périmètres pondérés et non pondérés. Tous les résultats de stabilité sont formulés par rapport à la distance α-Zolotarev, α ∈ (0, 1], que nous introduisons pour interpoler entre l'asymétrie de Fraenkel et la distance de Kantorovich.
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Isoperimetric inequalities in quantitative form: Stein's method approach.pdf (359.23 Ko)
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