Contribution to didactic research on the completeness/incompleteness of ordered fields of numbers
Contribution aux recherches en didactique sur la complétude/incomplétude des corps ordonnés de nombres
Résumé
Understanding the concept of completeness for an ordered field is known to be difficult for many university mathematics students. We hypothesise that the variety of possible axioms of completeness for the set of real numbers is one of the sources of difficulties as is the lack of understanding of the raison d’être of these axioms. In this paper, we address this issue by first recalling the discussions on the first proof of the intermediate value theorem by Cauchy (Cours ď analyse De L'École Royale Polytechnique, Part 1: Analyse Algébrique. Debure Frères, 1821) as a contribution to the understanding of the role of completeness in real analysis. Then, we discuss a few research papers that involve the intermediate value theorem and put them in perspective with our own approach. In the second part of the paper, we briefly recall Bolzano’s dissection method and then analyse four proofs of the Bolzano–Weierstrass theorem for both the set and the sequence versions of the theorem. We then draw on this study to present and motivate the main features of a forthcoming multi-proofs activity that aims to expose students to a small number of axioms of the completeness property and the use of these axioms in proof and proving.
La compréhension du concept de complétude d'un corps ordonné est connue pour être difficile pour de nombreux étudiants en mathématiques. Nous supposons que la variété des axiomes de complétude possibles pour l'ensemble des nombres réels est l'une des sources de ces difficultés, tout comme le manque de compréhension de la raison d'être de ces axiomes. Dans cet article, nous abordons cette question en rappelant tout d'abord les discussions sur la première preuve du théorème des valeurs intermédiaires par Cauchy (Cours ď analyse De L'École Royale Polytechnique, Partie 1 : Analyse Algébrique. Debure Frères, 1821) comme une contribution à la compréhension du rôle de la complétude en analyse réelle. Ensuite, nous discutons de quelques travaux de recherche qui impliquent le théorème des valeurs intermédiaires et nous les mettons en perspective avec notre propre approche. Dans la deuxième partie de l'article, nous rappelons brièvement la méthode de dissection de Bolzano et analysons ensuite quatre preuves du théorème de Bolzano-Weierstrass pour les versions ensembliste et séquentielle du théorème. Nous nous appuyons ensuite sur cette étude pour présenter et motiver les principales caractéristiques d'une activité multi-preuves à venir qui vise à exposer les étudiants à un petit nombre d'axiomes de la propriété de complétude et à l'utilisation de ces axiomes dans les activités de preuves.