Asymptotic properties of the maximum likelihood estimator for Hidden Markov Models indexed by binary trees
Propriétés asymptotiques de l'estimateur du maximum de vraisemblance pour des modèles markoviens cachés indexés par des arbres binaires
Résumé
We consider hidden Markov models indexed by a binary tree where the hidden state space is a general metric space. We study the maximum likelihood estimator (MLE) of the model parameters based only on the observed variables. In both stationary and non-stationary regimes, we prove strong consistency and asymptotic normality of the MLE under standard assumptions. Those standard assumptions imply uniform exponential memorylessness prop- erties of the initial distribution conditional on the observations. The proofs rely on ergodic theorems for Markov chain indexed by trees with neighborhood-dependent functions.
Nous considérons des modèles markoviens cachés indexés par un arbre binaire où l'espace des états cachés est un espace métrique général. Nous étudions l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE) des paramètres du modèle basé uniquement sur les variables observées. Dans les régimes stationnaires et non stationnaires, nous prouvons la consistance forte et la normalité asymptotique du MLE sous des hypothèses standards. Ces hypothèses standards impliquent des propriétés uniformes d'oubli exponentiel de la mémoire pour la distribution initiale conditionnelle aux observations. Les preuves reposent sur des théorèmes ergodiques pour des chaînes de Markov branchantes indexées par des arbres avec des fonctions dépendant du voisinage.
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