An infinite-dimensional Christoffel function and detection of abnormal trajectories
Fonction de Christoffel infinie-dimensionnelle et détection de trajectoires aberrantes
Résumé
We introduce an infinite-dimensional version of the Christoffel function, where now (i) its argument lies in a Hilbert space of functions, and (ii) its associated underlying measure is supported on a compact subset of the Hilbert space. We show that it possesses the same crucial property as its finite-dimensional version to identify the support of the measure (and so to detect outliers). Indeed, the growth of its reciprocal with respect to its degree is at least exponential outside the support of the measure and at most polynomial inside. Moreover, for a fixed degree, its computation mimics that of the finite-dimensional case, but now the entries of the moment matrix associated with the measure are moments of moments. To illustrate the potential of this new tool, we consider the following application. Given a data base of registered reference trajectories, we consider the problem of detecting whether a newly acquired trajectory is abnormal (or out of distribution) with respect to the data base. As in the finite-dimensional case, we use the infinite-dimensional Christoffel function as a score function to detect outliers and abnormal trajectories. A few numerical examples are provided to illustrate the theory.
On introduit une version infini-dimensionnelle de la fonction de Christoffel où (i) ses arguments sont des éléments d’un espace de Hilbert de fonctions, et (ii) sa mesure associée est supportée sur un compact de cet espace de Hilbert. On montre qu’elle possède la même propriété cruciale que sa version fini-dimensionnelle, i.e. identifier le support de la mesure (et donc très utile pour détecter des aberrations en analyse de données). Dans le support de la mesure, la croissance de son inverse est au plus polynomiale dans son degré, et au moins exponentielle à l’extérieur du support. De plus, pour tout degré fixé, son calcul imite celui de sa version fini-dimensionnelle, avec la particularité que les entrées de la matrice des moments de la mesure sont des moments de moments. Pour illustrer le potentiel de ce nouvel outil on considère l’application suivante : étant donnée une base de données de trajectoires de référence enregistrées, on considère le problème de détecter si une trajectoire nouvellement acquise est anormale par rapport aux trajectoires de référence. Comme dans le cas infini-dimensionnel on propose d’utiliser la fonction de Christoffel comme un score pour détecter les trajectoires aberrantes. Deux exemples illustratifs sont détaillés.
Domaines
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