Article Dans Une Revue Annales Henri Lebesgue Année : 2026

On the limit in the CLT for a field of martingale differences with respect to a completely commuting invariant filtration.

Sur la limite dans le TLC pour un champ d'accroissements de martingales relativement à une filtration complètement commutante.

Résumé

The now classical convergence in distribution theorem for well normalized sums of stationary martingale increments has been extended to multi-indexed martingale increments. In the present article we make progress in the identification of the limit law. In dimension one, as soon as the stationary martingale increments form an ergodic process, the limit law is normal, and it is still the case for multi-indexed martingale increments when one of the processes defined by one coordinate of the multidimensional time is ergodic. In the general case, the limit may be non normal. In the present paper we establish links between the dynamical properties of the $\Z^d$-measure preserving action associated to the stationary random field --- like the positivity of the entropy of some factors --- and the existence of a non normal limit law. The identification of a {\it natural} factor on which the $\mathbb{Z}^d$-action is {\it of product type} is a crucial step in this approach.

La convergence en loi d’une martingale à accroissements stationnaires convenablement normalisée est un résultat maintenant classique qui a été étendu aux martingales à indices multi-dimensionnel. Dans cet article, nous présentons des avancées sur l’identification de la loi limite. En dimension un, si la suite strictement stationnaire d’accroissements de martingale est ergodique, la limite est de loi normale et c’est encore le cas pour les martingales à indice multiple quand le processus défini par une des dimensions du temps multi-dimensionnel est ergodique. Dans le cas général, la limite peut ne pas être de loi normale. Dans cet article, nous établissons des liens entres les propriétés des actions de Z^d préservant la mesure associées au champ aléatoire stationnaire, comme la stricte positivité de l’entropie de certains facteurs, et l’existence d’une limite non normale. L’identification d’un facteur naturel pour lequel l’action de Z^d est de type produit est une étape cruciale de cette approche.

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Dates et versions

hal-04584212 , version 1 (23-05-2024)
hal-04584212 , version 2 (26-01-2026)

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Identifiants

  • HAL Id : hal-04584212 , version 2

Citer

Davide Giraudo, Emmanuel Lesigne, Dalibor Volny. On the limit in the CLT for a field of martingale differences with respect to a completely commuting invariant filtration.. Annales Henri Lebesgue, inPress. ⟨hal-04584212v2⟩
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