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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2024

Physics-informed machine learning as a kernel method

L'apprentissage profond inspiré de la physique est une méthode à noyau

Résumé

Physics-informed machine learning combines the expressiveness of data-based approaches with the interpretability of physical models. In this context, we consider a general regression problem where the empirical risk is regularized by a partial differential equation that quantifies the physical inconsistency. We prove that for linear differential priors, the problem can be formulated as a kernel regression task. Taking advantage of kernel theory, we derive convergence rates for the minimizer of the regularized risk and show that it converges at least at the Sobolev minimax rate. However, faster rates can be achieved, depending on the physical error. This principle is illustrated with a one-dimensional example, supporting the claim that regularizing the empirical risk with physical information can be beneficial to the statistical performance of estimators.
L'apprentissage automatique informé par la physique combine l'expressivité des approches basées sur les données avec l'interprétabilité des modèles physiques. Dans ce contexte, nous considérons un problème de régression où le risque empirique est régularisé par une équation aux dérivées partielles (EDP) qui quantifie l'incohérence physique. Nous prouvons que pour les EDP linéaires, le problème peut être formulé comme une de régression à noyau. En tirant parti de la théorie des noyaux, nous en déduisons des taux de convergence pour le minimiseur du risque régularisé et montrons qu'il converge au moins au taux minimax de Sobolev. Cependant, des taux plus rapides peuvent être atteints, en fonction de l'erreur physique. Ce principe est illustré par un exemple unidimensionnel, qui prouve que la régularisation du risque empirique à l'aide d'informations physiques peut améliorier la performance statistique des estimateurs.
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Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-04447750 , version 1 (08-02-2024)

Identifiants

Citer

Nathan Doumèche, Francis Bach, Gérard Biau, Claire Boyer. Physics-informed machine learning as a kernel method. 2024. ⟨hal-04447750⟩
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