Incompressible limit of porous media equation with chemotaxis and growth
Résumé
We revisit the problem of proving the incompressible limit for the compressible porous media equation with Newtonian drift and growth. The question is motivated by models of living tissues development including chemotaxis. We extend the problem, already treated by the authors and several other contributions, in using a simplified approach, in treating dimensions two or higher, and in incorporating the pressure driven growth term. We also complete the analysis with stronger $L^4$ estimates on the pressure gradient. The major difficulty is to prove the strong convergence of the pressure gradient which is obtained here by a new observation on an algebraic relation involving the pressure gradient for weak limits.
Nous revisitons la démonstration de la limite incompressible pour l'équation des milieux poreux compressibles avec une dérive newtoniennes et croissance. La question est motivée par des modèles de développement de tissus vivants incluant la chimiotaxie. Nous étendons le problème, déjà traité par les auteurs et plusieurs autres contributions, en utilisant une approche simplifiée, en traitant les dimensions deux ou plus, et en incorporant le terme de croissance induit par la pression. Nous complétons également l'analyse avec des estimations plus fortes sur le gradient de pression, dans $L^4$. La difficulté majeure est de prouver la convergence forte du gradient de pression qui est obtenue ici par une nouvelle observation sur une relation non-linéaire impliquant la limite faible du gradient de pression.
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