Chemical distance in the supercritical phase of planar Gaussian fields
Distance chimique dans le régime sur-critique des champs gaussiens planaires
Résumé
Our study concerns the large scale geometry of the excursion set of planar random fields: E ℓ = {x ∈ R 2 |f (x) ≥-ℓ}, where ℓ ∈ R is a real parameter and f is a continuous, stationary, centered, planar Gaussian field satisfying some regularity assumptions (in particular, this study applies to the planar Bargmann-Fock field). It is already known that under those hypotheses there is a phase transition at ℓc = 0. When ℓ > 0, we are in a supercritical regime and almost surely E ℓ has a unique unbounded connected component. We prove that in this supercritical regime, whenever two points are in the same connected components of E ℓ then, with high probability, the chemical distance (the length of the shortest path in E ℓ between these points) is close to the Euclidean distance between those two points Contents
Notre étude concerne la géométrie à grande échelle des ensembles d'excursion de champs planaire aléatoire Eℓ = {x ∈ R 2 |f (x) ≥ −ℓ}, où ℓ ∈ R est un paramètre réel et f est un champ gaussien, continu, stationnaire, centré et planaire satisfaisant certaines hypothèses de régularité (en particulier cette étude s'applique au champ planaire de Bargmann-Fock). Il est déjà connu que sous ces hypothèses, il se produit une transition de phase autour de ℓ c = 0. Lorsque ℓ > 0, nous sommes dans le régime sur-critique et presque-sûrement E ℓ présente une unique composante connexe non bornée. Nous prouvons que dans ce régime sur-critique, lorsque deux points sont dans la même composante connexe de E ℓ,alors avec grande probabilité, la distance chimique (la longueur du plus court chemin dans E ℓ entre ces deux points) est proche de la distance euclidienne entre ces deux points.
Domaines
Probabilités [math.PR]| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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