Sur les conjectures de Goldbach forte et faible (quelques remarques historico-épistémologiques) - Archive ouverte HAL Accéder directement au contenu
Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

Sur les conjectures de Goldbach forte et faible (quelques remarques historico-épistémologiques)

Résumé

The Anglo-Saxon mania for breaking down any argument into strong and weak versions can give rise to jokes like those illustrated in the drawing in Fig. 1 borrowed from the xkcd webcomic created by Randall Munroe. But this article is very serious. We first recall some historical elements linked to Goldbach's conjecture, in particular its exact formulation by Goldbach himself, then by Euler. We then develop the first approaches: firstly the combinatorial approach, starting from the sieve of Eratosthenes and going to the more refined methods of Legendre and especially Brun, then generalized by Schnirelmann then Ramaré, finally continued, since Vinogradov, by Mint-Chit Liu and Wang Tianze; secondly, the analytical approach, launched by Euler, who had his hour of glory at the end of the 19th century with Hadamard and de La Vallée-Poussin, making it possible in particular to demonstrate the famous "prime number theorem". As we know, the method involves a formula which equals a product on the prime numbers to the Riemann zeta function, a sum defined from simple integers. The zeta function appearing in the denominator, it is then necessary, for the method to work, to avoid the points where it cancels out. Hence the hunt for regions of the complex plane devoid of zeros, a hunt launched in 1849 by Riemann himself, the results of which initially remained very partial, but the irruption of computers amplified the scope because of the possible verifications ( see the work of Pierre Dussart in 1998). A weakening of the question – the quest for regions of the complex plane where the zeta function has {\it few} zeros, inaugurated by Bohr and Landau – led to the work of Gallagher and Vaughan, who converted information about zeros into direct information on prime numbers, which improves perspective. Finally, in the 2010s, combinatorial and Eulerian approaches will converge in the work of Christian Mauduit, Joël Rivat, and soon Terence Tao, the latter having succeeded in showing that every even integer is the sum of 5 prime numbers. Since then, Harald Helfgott has been able to go from 5 to 3 and prove the ternary conjecture. It remains that Goldbach's initial conjecture (the so-called "binary" conjecture or "strong" conjecture) still resists any demonstration for the moment.
La manie anglo-saxonne de décomposer toute argumentation en versions fortes et faibles peut donner lieu à des plaisanteries comme celles qu'illustre le dessin de la Fig. 1 emprunté à la bande dessinée en ligne xkcd créée par Randall Munroe. Mais cet article est très sérieux. Nous rappelons d'abord quelques éléments d'histoire liés à la conjecture de Goldbach, notamment sa formulation exacte par Goldbach lui-même, puis par Euler. Nous développons ensuite les premières approches : en premier lieu l'approche combinatoire, partant du crible d'Eratosthène et allant jusqu'aux méthodes plus raffinées de Legendre et surtout de Brun, généralisée ensuite par Schnirelmann puis Ramaré, poursuivie enfin, depuis Vinogradov, par Mint-Chit Liu et Wang Tianze; en second lieu l'approche analytique, lancée par Euler, qui connut son heure de gloire à la fin du XIX$^e$ siècle avec Hadamard et de La Vallée-Poussin, permettant notamment de démontrer le fameux "théorème des nombres premiers". Comme on le sait, la méthode passe par une formule qui égale un produit sur les nombres premiers à la fonction zêta de Riemann, somme définie à partir de simples entiers. La fonction zêta apparaissant au dénominateur, il faut alors, pour que la méthode fonctionne, éviter les points où celle-ci s'annule. D'où la chasse aux régions du plan complexe dépourvues de zéros, chasse lancée en 1849 par Riemann lui-même, dont les résultats restèrent au départ très partiels, mais dont l'irruption des ordinateurs a amplifié la portée à cause des vérifications possibles (voir les travaux de Pierre Dussart en 1998). Un affaiblissement de la question – la quête de régions du plan complexe où la fonction zêta a {\it peu} de zéros, inaugurée par Bohr et Landau – aboutit aux travaux de Gallagher et Vaughan, qui convertissent les renseignements sur les zéros en informations directes sur les nombres premiers, ce qui améliore la perspective. Finalement, dans les années 2010, les approches combinatoire et eulérienne vont converger dans les travaux de Christian Mauduit, Joël Rivat, et bientôt Terence Tao, ce dernier ayant réussi à montrer que tout entier pair est somme de 5 nombres premiers. Depuis, Harald Helfgott a été en mesure de descendre de 5 à 3 et de prouver la conjecture ternaire. Il reste que la conjecture initiale de Goldbach (la conjecture dite "binaire" ou conjecture "forte") résiste encore pour l'instant à toute démonstration.
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Dates et versions

hal-04346907 , version 1 (15-12-2023)

Licence

Paternité

Identifiants

  • HAL Id : hal-04346907 , version 1

Citer

Daniel Parrochia. Sur les conjectures de Goldbach forte et faible (quelques remarques historico-épistémologiques). 2023. ⟨hal-04346907⟩
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