On the Foiaş and Stratila theorem
Sur le théorème de Foiaş and Stratila
Résumé
We extend the Foiaş and Stratila theorem to the case of $L^2$-functions whose spectral measure is continuous and concentrated on an independent Helson set, and to ergodic actions of locally compact second countable abelian groups. We first prove it for functions satisfying Carleman's condition for the Hamburger moment problem, without the assumption that the spectral measure is supported by a Helson set. Then we show independently that the spectral projector associated with a Helson set preserves each $L^p$ space, with an appropriate bound of the corresponding norm.
Nous étendons le théorème de Foiaş et Stratila au cas des fonctions $L^2$ dont la mesure spectrale est continue et concentrée sur un ensemble de Helson indépendant, et aux actions ergodiques des groupes abéliens localement compacts dénombrables à l4infini. Nous le prouvons d'abord pour les fonctions satisfaisant la condition de Carleman pour le problème des moments de Hamburger, sans l'hypothèse que la mesure spectrale est supportée par un ensemble de Helson. Ensuite, nous montrons indépendamment que le projecteur spectral associé à un ensemble de Helson préserve chaque espace $L^p$, avec une majoration suffisante de la norme correspondante.
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