FACTORISATION DE LA COHOMOLOGIE ÉTALE p-ADIQUE DE LA TOUR DE DRINFELD
Résumé
For a finite extension F of ${\mathbf Q}_p$ , Drinfeld defined a tower of coverings of (the Drinfeld half-plane). For $F = {\mathbf Q}_p$ , we describe a decomposition of the p -adic geometric étale cohomology of this tower analogous to Emerton’s decomposition of completed cohomology of the tower of modular curves. A crucial ingredient is a finiteness theorem for the arithmetic étale cohomology modulo p whose proof uses Scholze’s functor, global ingredients, and a computation of nearby cycles which makes it possible to prove that this cohomology has finite presentation. This last result holds for all F ; for $F\neq {\mathbf Q}_p$ , it implies that the representations of $\mathrm{GL}_2(F)$ obtained from the cohomology of the Drinfeld tower are not admissible contrary to the case $F = {\mathbf Q}_p$ .
Si $F$ est une extension finie de $Qp$ , Drinfeld a défini une tour de revêtements de l'espace analytique $P^1\ P^1(F)$ (demi-plan de Drinfeld). Si $F = Qp$, nous donnons une décomposition de la cohomologie étale p-adique géométrique de cette tour de revêtements analogue à la décomposition d'Emerton de la cohomologie complétée de la tour des courbes modulaires. Un ingrédient crucial est un théorème de finitude pour la cohomologie étale arithmétique modulo p dont la preuve utilise le foncteur de Scholze, des ingrédients globaux et un calcul de cycles proches qui permet de prouver que cette cohomologie modulo p est de présentation finie. Ce dernier résultat est valable pour F quelconque ; pour $F = Qp$, il implique que les représentations de $GL_2(F)$ obtenues à partir de la cohomologie de la tour de Drinfeld ne sont pas admissibles contrairement au cas $F = Qp$.
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