Space time convergence of implicit discretization strategies for the mixed formulation of linear wave equations
Analyse de convergence espace temps de stratégies de discrétisation implicites de la formulation mixte des équations d’ondes linéaires.
Résumé
This report presents the space-time convergence analysis of two implicit discretization strategies for the mixed formulation of wave equations, based for the first on the Störmer-Verlet scheme and for the second on the Crank-Nicolson scheme. This analysis is uniform with respect to the space-time convergence ratio. For each discretization strategy, after obtaining an exploitable energy identity, a uniform stability result is achieved through a technique of projection onto well-chosen eigensubspaces of a certain symmetric real matrix appearing in the construction of the schemes. Uniform convergence is then demonstrated using increasingly refined techniques to reduce the regularity assumptions on the semi-discrete solution.
Ce rapport présente l’analyse de convergence espace temps de deux stratégies implicites de discrétisation de la formulation mixte des équations d’onde, basées pour la première sur le schéma de Störmer-Verlet et pour la seconde sur le schéma de Crank-Nicolson. Cette analyse est uniforme par rapport au ratio espace temps de convergence. Pour chaque stratégie de discrétisation, après avoir obtenu une identité d’énergie exploitable, un résultat de stabilité uniforme est atteint grâce à une technique de projection sur des sous espaces propres bien choisis d’une certaine matrice réelle symétrique apparaissant dans la construction des schémas. La convergence uniforme
est ensuite montrée en utilisant des techniques de plus en plus raffinées afin de réduire les hypothèses de régularité sur la solution semi discrète.
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