A Linear Complementarity Problem based on non-Symmetric Large Random Matrices
Résumé
The Linear Complementarity Problem (LCP) is a class of problems from mathematical optimization. Motivated by a question from theoretical ecology, we study large Lotka-Volterra (LV) systems of coupled differential equations where the interaction between equations is modeled by a large random matrix. After proving that the stable equilibrium of such a system satisfies a LCP, we analyze its statistical properties by adapting techniques from Approximate Message Passing, a series of techniques and algorithms developed by Donoho, Montanari et al. these last 15 years. In particular, we recover results established by Bunin and Galla at a physical level of rigor. We believe that these LCP and AMP concepts are of interest to the Statistical Signal Processing community beyond their specific application to a problem of theoretical ecology.
-Le problème de complémentarité linéaire (LCP) désigne une classe de problèmes d'optimisation linéaire. Motivés par une question issue de l'écologie théorique, nous étudions les grands systèmes d'équations différentielles couplées de Lotka-Volterra (LV), où l'interaction entre équations est modélisée par une grande matrice aléatoire. Après avoir montré qu'un équilibre stable d'un tel système satisfaisait un problème de LCP, nous analysons ses propriétés statistiques en adaptant des techniques issues de l'Approximate Message Passing (AMP), une famille d'algorithmes et techniques développés par Donoho, Montanari et al. ces 15 dernières années. Nous retrouvons ainsi des résultats de Bunin et Galla, établis à l'aide de techniques de physique théorique. Ces concepts de LCP et d'AMP présentent un intérêt pour notre communauté, au-delà de leur utilisation spécifique dans un contexte d'écologie théorique.
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