Automorphisms and subdivisions of Helly graphs
Automorphismes et subdivisions de graphes de Helly
Résumé
We study Helly graphs of finite combinatorial dimension, i.e. whose injective hull is finite-dimensional. We describe very simple fine simplicial subdivisions of the injective hull of a Helly graph, following work of Lang. We also give a very explicit simplicial model of the injective hull of a Helly graphs, in terms of cliques which are intersections of balls. We use these subdivisions to prove that any automorphism of a Helly graph with finite combinatorial dimension is either elliptic or hyperbolic. Moreover, every such hyperbolic automorphism has an axis in an appropriate Helly subdivision, and its translation length is rational with uniformly bounded denominator.
Nous étudions les graphes de Helly de dimension combinatoire finie, i.e. dont l'enveloppe injective est de dimension finie. Nous décrivons des subdivisions simpliciales fines de l'enveloppe injective d'un graphe de Helly, suite aux travaux de Lang. Nous donnons également un modèle simplicial très explicite de l'enveloppe injective d'un graphe de Helly, en termes de cliques qui sont des intersections de boules. Nous utilisons ces subdivisions pour prouver que tout automorphisme d'un graphe de Helly de dimension combinatoire finie est soit elliptique, soit hyperbolique. De plus, tout automorphisme hyperbolique a un axe dans une subdivision Helly adaptée, et sa longueur de translation est rationnelle, de dénominateur uniformément borné.