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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

Springer categories for regular centralizers in well-generated complex braid groups

Catégories de Springer pour les centralisateurs réguliers dans les groupes de tresses complexes bien engendrés.

Résumé

In his proof of the K(pi,1) conjecture for complex reflection arrangements, Bessis defined Garside categories suitable for studying braid groups of centralizers of Springer regular elements in well-generated complex reflection groups. We provide a detailed study of these categories, which we call Springer categories. We describe in particular the conjugacy of braided reflections of regular centralizer in terms of the Garside structure of the associated Springer category. In so doing we obtain a pure Garside theoretic proof of a theorem of Digne, Marin and Michel on the center of finite index subgroups in complex braid groups in the case of a regular centralizer in a well-generated group. We also provide a "Hurwitz-like" presentation of Springer categories. To this aim we provide additional insights on noncrossing partitions in the infinite series. Lastly, we use this "Hurwitz-like" presentation, along with a generalized Reidemeister-Schreier method we introduce for groupoids, to deduce nice presentations of the complex braid group B(G31).
Dans sa preuve de la conjecture K(pi,1) pour les arrangements de réflexions complexes, Bessis a défini des catégories de Garside adéquates pour étudier les groupes de tresses des centralisateurs d'éléments réguliers (au sens de Springer) dans les groupes de réflexions complexes bien engendrés. Nous fournissons une étude détaillée de ces catégories, que nous appelons catégories de Springer. Nous décrivons en particulier la conjugaison des réflexions tressées d'un centralisateur régulier via la structure de Garside de la catégorie de Springer associés. Ce faisant, nous obtenons une preuve de nature Garside d'un théorème de Digne, Marin et Michel sur le centre des sous-groupes d'indice fini d'un groupe de tresses complexes dans le cas d'un centralisateur régulier dans un groupe bien-engendré. On donne également une présentation "d'Hurwitz" des catégories de Springer. Dans ce but, nous donnons également des résultats additionnels sur les partitions non-croisées dans la série infinie. Enfin, nous utilisons cette présentation "d'Hurwitz", ainsi qu'une méthode de Reidemeister-Schreier généralisée aux groupoïdes (que nous déifnissons), pour déduire des présentations agréables du groupes de tresses complexes B(G31).
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Dates et versions

hal-04139088 , version 1 (23-06-2023)

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Paternité - Pas d'utilisation commerciale - Pas de modification

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Citer

Owen Garnier. Springer categories for regular centralizers in well-generated complex braid groups. 2023. ⟨hal-04139088⟩
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