On convex numerical schemes for inelastic contacts with friction
Résumé
This paper reviews the different existing Contact Dynamics schemes for the simulation of granular media, for which the discrete incremental problem is based on the resolution of convex problems. This type of discretization has the great advantage of allowing the use of standard convex optimization algorithms. In the case of frictional contacts, we consider schemes based on a convex relaxation of the constraint as well as a fixed point scheme. The model and the computations leading to the discrete problems are detailed in the case of convex, regular but not necessarily spherical particles. We prove, using basic tools of convex analysis, that the discrete optimization problem can be seen as a minimization problem of a global discrete energy for the system, in which the velocity to be considered is an average of the pre-and post-impact velocities. A numerical study on an academic test case is conducted, illustrating for the first time the convergence with order 1 in the time step of the different schemes. We also discuss the influence of the convex relaxation of the constraint on the behavior of the system. We show in particular that, although it induces numerical dilatation, it does not significantly modify the macrosopic behavior of a column collapse en 2d. The numerical tests are performed using the code SCoPI.
Cet article passe en revue les différents schémas de type Dynamique des Contacts existants pour la simulation de milieux granulaires, pour lesquels le problème incrémental discret repose sur la résolution de problèmes convexes. Ce type de discrétisation a le grand avantage de permettre l’utilisation d’algorithmes standards d’optimisation convexe. Dans le cas des contacts frictionnels, nous considérons des schémas basés sur une relaxation convexe de la contrainte ainsi qu’un schéma de point fixe. Le modèle et les calculs menant aux problèmes discrets sont détaillés dans le cas de particules convexes, régulières mais non-nécessairement sphériques. Nous prouvons, en utilisant des outils de base de l’analyse convexe, que le problème d’optimisation discret peut être vu comme un problème global de minimisation d’une énergie discrète pour le système, dans lequel la vitesse à considérer est une moyenne des vitesses pré- et post- impact. Une étude numérique sur un cas test académique est menée, illustrant pour la première fois la convergence d’ordre 1 en temps des différents schémas. Nous discutons également l’influence de la relaxation convexe de la contrainte sur le comportement du système. Nous montrons notamment que, bien qu’elle induise une dilatation numérique, elle ne modifie pas significativement le comportement macrosopique d’un effondrement de colonne en 2d. Les tests numériques sont effectués à l’aide du code SCoPI.
Domaines
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