La géométrie pour justifier ou inventer des algorithmes : Autour des Métriques de Héron d’Alexandrie
Résumé
Les récents programmes de collège ont donné une place remarquée à l’algorithmique et la programmation. Cependant, les liens entre les activités de preuve, et plus particulièrement celle de démonstration, réputées pourtant centrales en mathématiques et souvent associées à l’apprentissage de la géométrie, et l’apprentissage de l’algorithmique, sont plutôt ténus et ils ne sont signalés au mieux qu’au sujet des constructions géométriques.
Dans cette contribution, nous proposons d’interroger la place d’une argumentation géométrique dans des phénomènes de justification ou d’invention d’algorithmes de calcul d’aires usuelles. Ce point de vue s’inspire directement des travaux de l’érudit polymathe alexandrin Héron d’Alexandrie et plus particulièrement son traité des Métriques. Ce texte comprend pour l’essentiel une série de problèmes de mesure allant des figures les plus simples, comme le rectangle ou le triangle, jusqu’aux solides les plus complexes, complété par des
problèmes de division de figures ou de solides. Sa particularité est de comporter, dans un grand nombre de cas, des preuves de validation des « solutions » des problèmes de mesure en question. Ces dernières sont elles-mêmes données sous une forme algorithmique, c’est-à-dire comme un enchaînement d’étapes de calcul
valable quelles que soient les données numériques.
Notre argument est que l’étude minutieuse des particularités stylistiques et logiques des preuves héroniennes, est susceptible de développer des pistes pédagogiques nouvelles pour l’introduction et surtout l’étude des « formules d’aires » du collège. Nous pensons en outre que cette nouvelle approche devient possible si ces « formules » sont d’abord comprises comme des algorithmes de calcul décrits sous une forme qui en permette l’étude géométrique. Nous montrerons ainsi que la lecture de Héron est susceptible de nourrir une réflexion stratégique sur un enseignement conjoint de la géométrie et de l’algorithmique, où l’enjeu de preuve
devient central.