Ce cours présente quelques-uns des principaux outils de l’analyse pour l’étude mathématique des équations aux dérivées partielles issues des sciences physiques ou humaines. Le chapitre 1 rappelle quelques notions essentielles concernant la topologie des espaces vectoriels normés. Le chapitre 2 est une introduction succincte à l’intégrale de Lebesgue, l’idée étant ici de comprendre quels sont les avantages de cette intégrale par rapport à celle de Riemann, et non pas de détailler la théorie sous-jacente. Le chapitre 3 expose les bases de la théorie des distributions, due à Laurent Schwartz, qui généralise la notion de fonction. Le chapitre 4 présente les propriétés fondamentales de la transformation de Fourier pour les fonctions intégrables et les fonctions de carré intégrable. Le chapitre 5 est consacré aux espaces de Hilbert qui, dans le cas de la dimension infinie, fournissent un cadre de travail analogue aux espaces euclidiens. Le chapitre 6 donne des exemples d’espaces de Hilbert qui jouent un rôle important dans l’étude des équations aux dérivées partielles : les espaces de Sobolev. Enfin, le chapitre 7 pose les bases de l’analyse variationnelle des problèmes elliptiques, qui ouvre notamment la porte à la méthode des éléments finis. Mais c’est là une autre histoire..