Parameterized Complexity of Elimination Distance to First-Order Logic Properties
Résumé
The elimination distance to some target graph property P is a general graph modification parameter introduced by Bulian and Dawar. We initiate the study of elimination distances to graph properties expressible in first-order logic. We delimit the problem's fixed-parameter tractability by identifying sufficient and necessary conditions on the structure of prefixes of first-order logic formulas. Our main result is the following meta-theorem: For every graph property P expressible by a first order-logic formula φ ∈ Σ3, that is, of the form φ = ∃x 1 ∃x 2 ⋯∃x r ∀y 1 ∀y 2 ⋯∀y s ∃z 1 ∃z 2 ⋯∃z t ψ, where ψ is a quantifier-free first-order formula, checking whether the elimination distance of a graph to P does not exceed k, is fixed-parameter tractable parameterized by k. Properties of graphs expressible by formulas from Σ3 include being of bounded degree, excluding a forbidden subgraph, or containing a bounded dominating set. We complement this theorem by showing that such a general statement does not hold for formulas with even slightly more expressive prefix structure: There are formulas φ ∈ Π3, for which computing elimination distance is W[2]-hard.
La distancia de eliminación a una propiedad P de un grafo es un parámetro general de modificación de grafos introducido por Bulian y Dawar. Iniciamos el estudio de las distancias de eliminación a propiedades de grafos expresables en lógica de primer orden. Delimitamos la trazabilidad de parámetros fijos del problema identificando condiciones suficientes y necesarias sobre la estructura de los prefijos de las fórmulas lógicas de primer orden. Nuestro principal resultado es el siguiente metateorema: Para toda propiedad P de un grafo expresable mediante una fórmula lógica de primer orden φ ∈ Σ3, es decir, de la forma φ = ∃x 1 ∃x 2 ⋯∃x r ∀y 1 ∀y 2 ⋯∀y s ∃z 1 ∃z 2 ⋯∃z t ψ, donde ψ es una fórmula de primer orden sin cuantificador, que comprueba si la distancia de eliminación de un grafo a P no excede de k, es trazable de parámetro fijo parametrizado por k. Las propiedades de los grafos expresables mediante fórmulas de Σ3 incluyen ser de grado acotado, excluir un subgrafo prohibido o contener un conjunto dominante acotado. Complementamos este teorema mostrando que tal afirmación general no se cumple para fórmulas con una estructura de prefijos incluso ligeramente más expresiva: Hay fórmulas φ ∈ Π3, para las que calcular la distancia de eliminación es W[2]-difícil.
La distance d'élimination par rapport à une propriété de graphe cible P est un paramètre général de modification de graphe introduit par Bulian et Dawar. Nous commençons l'étude des distances d'élimination vers des propriétés de graphes exprimables en logique du premier ordre. Nous délimitons la traçabilité des paramètres fixes du problème en identifiant des conditions suffisantes et nécessaires sur la structure des préfixes des formules de la logique du premier ordre. Notre résultat principal est le méta-théorème suivant : Pour toute propriété de graphe P exprimable par une formule logique du premier ordre φ ∈ Σ3, c'est-à-dire de la forme φ = ∃x 1 ∃x 2 ⋯∃x r ∀y 1 ∀y 2 ⋯∀y s ∃z 1 ∃z 2 ⋯∃z t ψ, où ψ est une formule du premier ordre sans quantificateur, vérifiant si la distance d'élimination d'un graphe à P ne dépasse pas k, est tractable à paramètres fixes paramétrée par k. Les propriétés des graphes exprimables par des formules de Σ3 incluent le fait d'être de degré borné, d'exclure un sous-graphe interdit, ou de contenir un ensemble dominant borné. Nous complétons ce théorème en montrant qu'un tel énoncé général n'est pas valable pour les formules ayant une structure préfixe légèrement plus expressive : Il existe des formules φ ∈ Π3, pour lesquelles le calcul de la distance d'élimination est W[2]-hard.