An introduction to the study of the stochastic properties of dynamical systems
Résumé
This book provides an introduction to the study of the stochastic properties of probability preserving dynamical systems. Only the usual knowledge of the first year of a Master's degree is required. Many reminders are given. The definitions and results are illustrated by examples and corrected exercises. The book presents the notions of Poincaré's recurrence, of ergodicity, of mixing. It enlights also existing links between dynamical systems and Markov chains. The final objective of this book is to present three methods for establishing central limit theorems in the context of chaotic dynamical systems: a first method based on martingale approximations, a second method based on perturbation of quasi-compact linear operators and a third method based on decorrelation estimates.
Ce livre est un ouvrage introductif à l'étude des propriétés stochastiques des systèmes dynamiques chaotiques préservant une mesure de probabilité. Les prérequis de ce livre sont les connaissances usuellement enseignées en première année de Master en Mathématiques (ce livre contient de plus des rappels de niveau Bac+4). Les définitions et les résultats contenus dans cet ouvrage sont illustrés par des exemples et des exercices corrigés. Le livre commence par une présentation des notions classiques dans l'étude des systèmes dynamiques telles que la notion de mesure invariante, le théorème de récurrence de Poincaré, les propriétés d'ergodicité et de mélange, la notion d'isomorphisme. Il met également en évidence les liens existants entre les systèmes dynamiques et les chaînes de Markov. L'objectif final de ce livre est de présenter trois méthodes permettant d'établir des théorèmes centraux limites dans le cadre des systèmes dynamiques chaotiques : une première méthode basée sur les approximations martingales, une deuxième méthode basée sur la perturbation d'opérateurs quasi-compacts et une troisième méthode basée sur des estimées de décorrélation.