A logical analysis of fixpoint theorems
Résumé
We prove a fixpoint theorem for contractions on Cauchy-complete quantale-enriched categories. It holds for any quantale whose underlying lattice is continuous, and applies to contractions whose control function is sequentially lower-semicontinuous. Sufficient conditions for the uniqueness of the fixpoint are established. Examples include known and new fixpoint theorems for metric spaces, fuzzy metric spaces, and probabilistic metric spaces.
Nous démontrons un théorème du point fixe pour des contractions
sur des catégories Cauchy-complètes enrichies dans un quantale. Il est valable pour tout quantale dont le treillis sous-jacent est continu, et s’applique
à des contractions dont la fonction de contrôle est séquentiellement semicontinue inférieurement. Des conditions suffisantes pour l’unicité du point
fixe sont établies. Les exemples comprennent des théorèmes du point fixe
connus et nouveaux pour les espaces métriques, les ordres flous, et les espaces métriques aléatoires.