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Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

About the elastic energy related to an inclusion or an inhomogeneity in large or infinite domains and mixed boundary conditions

À propos de l'énergie élastique d'une inclusion ou inhomogénéité dans un domainegrand ou infini sous des conditions mixtes aux frontières

Résumé

The equivalent inclusion method allows to solve analytically and exactly problems for one inhomogeneity in an elastic domain in generally infinite spaces. It also allows to solve semi-analytically and approximately problems for several inhomogeneities in elastic domains. Knowing the additional elastic energy due to the presence of one or more inclusions / inhomogeneities is essential to estimate the elastic properties of the homogenized medium. The usual demonstrations proposed to calculate this energy supplement often make the assumption of stress free boundary condition. These demonstrations would be valid for solutions obtained under these conditions in finite domains. Unfortunately, this is no longer the case when we use analytical solutions established in infinite domains. For the latter solutions, which are mostly used, the stresses do tend towards zero when one moves away from the inclusion but the rate of decrease, compared to the rate of growth of the boundary surface, is not sufficient for one to consider them as zero. Indeed, a correction-even a very small one-is essential to quantify precisely the strain energy when implementing numerically these calculation methods. I provide here a demonstration that does not make this usual stress-free boundary assumption by considering mixed boundary conditions when isolating a large finite domain in an infinite domain. This allows credit for suitable estimates in finite and infinite domains. A numerical illustration is added to provide orders of magnitude and finish convincing the readers.
La méthode de l’inclusion équivalente permet de résoudre analytiquement et exactement des problèmes pour une inhomogénéité dans un domaine élastique en général dans un espace infini. Elle permet aussi de résoudre semi-analytiquement et approximativement des problèmes pour plusieurs inhomogénéités dans des domaines élastiques. Connaître le supplément d'énergie élastique lié à la présence d'une ou plusieurs inclusions / inhomogénéités est essentiel pour, entre autres, estimer les propriétés élastiques du milieu homogénéisé. Les démonstrations usuelles proposées pour calculer ce supplément d'énergie font souvent l'hypothèse de bords éloignés de l'inclusion libre de contrainte. Ces démonstrations seraient valables pour des solutions obtenues sous ces conditions en domaines finis. Ce n'est malheureusement plus le cas lorsqu'on utilise des solutions analytiques établies en domaine infini. Pour ces dernières solutions majoritairement utilisées, ces contraintes tendent effectivement vers zéro lorsqu'on s'éloigne de l'inclusion mais le taux de décroissance, comparé au taux de croissance de surface de frontière, n'est pas suffisant pour que l'on puisse les considérer nulles. En effet, une correction - même infime - est indispensable pour quantifier précisément l'énergie de déformation lorsqu'on met en œuvre numériquement ces méthodes de calculs. Je fournis ici une démonstration qui ne fait pas cette hypothèse usuelle de bord libre de contrainte en prenant en considération les conditions mixtes de bord lorsqu'on isole un domaine fini grand dans un domaine infini. Ceci permet de créditer des estimations convenables en domaines finis et infinis. Une illustration numériquement est ajoutée pour fournir des ordres de grandeurs et finir de convaincre les lecteurs.
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Origine Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Dates et versions

hal-03979614 , version 1 (08-02-2023)
hal-03979614 , version 2 (15-06-2023)

Licence

Identifiants

  • HAL Id : hal-03979614 , version 2

Citer

Christophe Fond. About the elastic energy related to an inclusion or an inhomogeneity in large or infinite domains and mixed boundary conditions. 2023. ⟨hal-03979614v2⟩
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