Pré-Publication, Document De Travail Année : 2023

Trivialisable control-affine systems revisited

Résumé

The purpose of this paper is to explore the concept of trivial control systems, namely systems whose dynamics depends on the controls only. Trivial systems have been introduced and studied by Serres in the the context of control-nonlinear systems on the plane with a scalar control. In our work, we begin by proposing an extension of the notion of triviality to control-affine systems with arbitrary number of states and controls. Next, our first result concerns two novel characterisations of trivial control-affine systems, one of them is based on the study of infinitesimal symmetries and is thus geometric. Second, we derive a normal form of trivial control-affine systems whose Lie algebra of infinitesimal symmetries possesses an almost abelian Lie subalgebra. Third, we study and propose a characterisation of trivial control-affine systems on $3$-dimensional manifolds with scalar control. In particular, we a complete proof of the previous characterisation obtained by Serres. Our characterisation is based on the properties of two functional feedback invariants: the curvature (introduced by Agrachev) and the centro-affine curvature (used by Wilkens). Finally, we give several normal forms of control-affine systems, for which the curvature and the centro-affine curvature have special properties.
L'objectif de cet article est d'explorer le concept de système de contrôles trivial, c'est-à-dire un système dont la dynamique dépend uniquement des commandes. Les systèmes triviaux ont été introduits et étudiés par Serres dans le contexte des systèmes bidimensionnels et non-linéaires par rapport à un contrôle scalaire. Dans notre travail, nous commençons par proposer une extension de la notion de trivialité aux systèmes affines par rapport aux contrôles et avec un nombre arbitraire d'états et de contrôles. Ensuite, notre premier résultat concerne deux nouvelles caractérisations des systèmes affines triviaux, l'une d'entre elles est basée sur l'étude des symétries infinitésimales et est donc géométrique. Deuxièmement, nous donnons une forme normale pour les systèmes affines triviaux dont l'algèbre de Lie des symétries infinitésimales possède une sous-algèbre de Lie presque abélienne. Troisièmement, nous étudions et proposons une caractérisation des systèmes affines triviaux sur des variétés à $3$ dimensions et avec un contrôle scalaire. En particulier, nous complétons la preuve de la caractérisation précédemment obtenue par Serres. Notre caractérisation est basée sur les propriétés de deux invariants fonctionnels du bouclage : la courbure (introduite par Agrachev) et la courbure centro-affine (utilisée par Wilkens). Enfin, nous donnons plusieurs formes normales de systèmes affines, pour lesquelles la courbure et la courbure centro-affine ont des propriétés particulières.
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hal-03971788 , version 1 (03-02-2023)
hal-03971788 , version 2 (29-07-2024)

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Citer

Timothée Schmoderer, Witold Respondek. Trivialisable control-affine systems revisited. 2024. ⟨hal-03971788v2⟩
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