Estimation of Sobol indices with a multi-element polynomial chaos model : application to Flight Dynamics - Archive ouverte HAL
Communication Dans Un Congrès Année : 2022

Estimation of Sobol indices with a multi-element polynomial chaos model : application to Flight Dynamics

Estimation des indices de Sobol pour les solutions d’Équations Différentielles Ordinaires à l’aide d’un modèle multi-élément par chaos polynomial

Résumé

Flight Dynamics aims at studying the motion of an aircraft modelled as a solid. The equations of motion are gathered in a dynamical system of coupled Ordinary Differential Equations. Classically, behaviours of the aircraft are linked to equilibria of this system, and bifurcation theory is used. In the dynamical system, the forces and the moments from the fluid on the aircraft rely on models with a chosen structure, constructed with data coming from experiments. These models are therefore uncertain. It had be shown that the uncertainties of these models can have influence on some equilibria, notably on their stability. In this paper, a joint Uncertainty Quantification and Global Sensitivity Analysis study is conducted on the temporal evolution of a given predicted behaviour of a light aircraft. As different combinations of the uncertain parameters can lead to instability of the behaviour and other combinations to stability, the state variables of the dynamical system can present some irregularities or some discontinuities with respect to the uncertain parameters at a given instant. In this paper, a method to estimate Sobol indices of a solution of an Ordinary Differential Equation approximated with a multi-element polynomial chaos model is therefore used. It relies on two upcoming papers. The first paper presents a method relying on Machine learning methods to get a multi-element polynomial chaos model for a non-time dependent Quantity of Interest. The second one extends the analytical formula between the Sobol indices and the coefficients of a polynomial chaos surrogate model to the case of a multi-element polynomial chaos model. In the present paper, the time-dependent extension of the multi-element model is introduced. The analytical formula permits to find Sobol indices from the coefficients of the local polynomial models at every considered instants. Conversely to standard polynomial chaos models, the use of a multi-element model permits to accurately approximate solutions of Ordinary Differential Equation with bifurcations, being irregular or discontinuous with respect to the input parameters at some instants. This approach is then used to conduct the sensitivity study on the state variables of an aircraft behaviour predicted by the Flight Dynamics system.
La Quantification d’incertitude a pour but d’étudier l’impact de certains paramètres sur une Quantité d’intérêt (QOI). Les paramètres sélectionnés sont nommés les paramètres d’entrée. Ils sont supposés aléatoires, indépendants, et sont supposés suivre une loi de distribution stochastique de densité de probabilité connue. Les indices de Sobol, reposant sur la définition des variances partielles, classent les actions des paramètres d’entrée et les interactions entre ces paramètres d’après leur impact sur la QOI. Les indices donnent également un aspect quantitatif de ces impacts. Les indices de Sobol au premier ordre et les indices de Sobol totaux peuvent être estimés avec des méthodes de Monte-Carlo, mais nécessitent souvent un grand nombre de simulations. Approchant la relation entre le QOI et les paramètres d’entrée utilisant un méta-modèle par chaos polynomial avec le « generalised Polynomials Chaos » (gPC) framework permet d’établir un lien analytique entre les coefficients du métamodèle et les indices de Sobol. Une fois le métamodèle obtenu, les indices de Sobol sont accessibles. Néanmoins, les modèles par chaos polynomial ne sont pas précis en présence d’irrégularités ou de discontinuités. Un grand nombre de termes de la série est parfois nécessaire pour obtenir une précision acceptable, ce qui peut devenir problématique avec la célèbre malédiction de la dimensionnalité. De plus, le phénomène de Gibbs perdure et s’amplifie lorsque le degré de troncature de la série est augmenté alors que la QOI est discontinue. Les modèles multi-élément (ME) ont été développé pour résoudre ce problème. L’espace des paramètres, espace abstrait contenant toutes les valeurs possibles des paramètres d’entrée, est partitionné en sous-ensembles nommés éléments où la QOI est plus régulière et des modèles gPC locaux sont entrainés sur chacun de ces éléments. Le modèle global est donc un modèle par morceaux et contient une méthode afin de déterminer quel modèle local utiliser lors d’une évaluation. Néanmoins, avec ce modèle par morceaux, le lien analytique avec les indices de Sobol est perdu. Dans un article en cours d’écriture qui sera bientôt soumis, le lien analytique entre les indices de Sobol et les coefficients du chaos sera étendu dans les cas des modèles ME avec une QOI ne dépendant pas du temps. Dans cet article, une nouvelle approche est présentée. En premier lieu, les paramètres d’entrée subissent une bijection vers des nouvelles variables contenues dans l’hypercube unité. Ensuite, une matrice d’interaction contenant toutes les informations nécessaires pour obtenir les variances partielles et l’espérance est calculée. Les indices de Sobol sont ainsi accessibles à l’aide de cette matrice. Ce lien analytique entre les coefficients du métamodèle ME et les indices de Sobol est une extension de la formule effectuant le lien entre les indices de Sobol et les modèles gPC standards. Dans le présent article, nous étendons cette approche aux QOIs étant solutions de systèmes d’Équations Différentielles Ordinaires (ODE), et donc dépendantes du temps. La version dépendante du temps d’une nouvelle méthode ME appelée ME-ACD, développée dans un article qui sera également bientôt soumis, est utilisée. N’importe quelle méthode ME pourrait être utilisée à la place. La nouvelle approche est ainsi capable de donner une estimation des indices de Sobol avec un nombre de résolutions du système relativement bas, même si à un certain instant, la QOI est irrégulière ou discontinue (traduisant la présence de bifurcations) par rapport aux paramètres d’entrée. La précision de l’approche est étudiée sur plusieurs applications. Tout d’abord, une ODE classique est testée. Ensuite, la précision de la méthode est testée sur un système théorique modélisant l’apparition d’une bifurcation. En dernier lieu, l’approche est utilisée dans un cas pratique de Dynamique du vol.
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Dates et versions

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Identifiants

  • HAL Id : hal-03932174 , version 1

Citer

Nicolas Vauchel, Eric Garnier, Thomas Gomez. Estimation of Sobol indices with a multi-element polynomial chaos model : application to Flight Dynamics. 25ème Congrès Français de Mécanique, Aug 2022, NANTES, France. ⟨hal-03932174⟩
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