Random walk speed is a proper function on Teichm\"uller space
Résumé
Consider a closed surface $M$ with negative Euler characteristic, and an admissible probability measure on the fundamental group of $M$ with finite first moment. Corresponding to each point in the Teichm\"uller space of $M$, there is an associated random walk on the hyperbolic plane. We show that the speed of this random walk is a proper function on the Teichm\"uller space of $M$, and we relate the growth of the speed to the Teichm\"uller distance to a basepoint. One key argument is an adaptation of Gou\"ezel's pivoting techniques to actions of a fixed group on a sequence of hyperbolic metric spaces.
Considérons une surface fermée $M$ de caractéristique d'Euler strictement négative, et une mesure de probabilité admissible sur le groupe fondamental de $M$ avec premier moment fini. À chaque point de l'espace de Teichmüller de $M$ correspond une marche aléatoire sur le plan hyperbolique. Nous montrons que la vitesse de cette marche aléatoire est une fonction propre sur l'espace de Teichmüller de $M$, et nous relions la croissance de cette vitesse à la distance de Teichmüller à un point base. Un argument clé est une adaptation des techniques de pivot de Gouëzel pour des actions d'un groupe fixé sur une suite d'espace métriques hyperboliques.