Comparison of the $n$-categorical nerves
Comparaison des nerfs $n$-catégoriques
Résumé
Our aim is to compare three nerve functors for strict $n$-categories: the Street nerve, the cellular nerve and the multi-simplicial nerve. We show that these three functors are equivalent in some appropriate sense. In particular, the classes of $n$-categorical weak equivalences that they define coincide: they are the Thomason equivalences. We give two applications of this result: the first one states that a Dyer-Kan-type equivalence for Thomason equivalences is a Thomason equivalence; the second one, fundamental, is the stability of the class of Thomason equivalences under the dualities of the category of strict $n$-categories.
Le but de cet article est de comparer trois foncteurs nerf pour les $n$-catégories strictes : le nerf de Street, le nerf cellulaire et le nerf multi-simplicial. Nous montrons que ces trois foncteurs sont équivalents en un sens adéquat. En particulier, les classes d'équivalences faibles $n$-catégoriques qu'ils définissent coïncident : ce sont les équivalences de Thomason. On donne deux applications de ce résultat : la première affirme qu'une équivalence de type Dwyer-Kan pour les équivalences de Thomason est une équivalence de Thomason ; la seconde, fondamentale, est la stabilité de la classe des équivalences de Thomason par les dualités de la catégorie des $n$-catégories strictes.