Tits p‐indexes of semisimple algebraic groups
Équivalence motivique des groupes algébriques semisimples
Résumé
Let $p$ be a prime. The goal of this article is to prove the Smoothness Theorem 5.1 (Theorem D), which notably asserts that a $(1,\infty)$-cyclotomic pair is $(n,1)$-cyclotomic, for all $n \geq 1$. In the particular case of Galois cohomology, the Smoothness Theorem provides a new proof of the Norm Residue Isomorphism Theorem. Using the formalism of smooth profinite groups, this proof presents it as a consequence of Kummer theory for fields.
On prouve dans cet article que l’ensemble des motifs standards d’un groupe semisimple $G$ à coefficients dans un corps à $p$ éléments est déterminé par l’ensemble des motifs supérieurs du groupe $G$ . En conséquence de ce résultat, on obtient une version partielle de la conjecture de rigidité motivique des groupes spéciaux linéaires. Ce résultat est ensuite utilisé pour construire les indices supérieurs qui caractérisent l’équivalence motivique des groupes semisimples. Les critères d’équivalence motivique dérivés de l’expression de ces indices fournissent un dictionnaire mêlant motifs, structures algébriques et géométrie birationnelle des variétés de drapeaux généralisées. Cette correspondance est ensuite décrite pour les groupes spéciaux linéaires et les groupes orthogonaux (les critères afférents pour les autres groupes faisant l’objet de De Clercq and Garibaldi [ Tits $p$ - indexes of semisimple algebraic groups , J. Lond. Math. Soc. (2) 95 (2017) 567–585]). Les preuves de ces résultats reposent principalement sur les décompositions motiviques de type Levi de Chernousov, Gille et Merkurjev des variétés de drapeaux isotropes, ainsi que sur la notion d’extension pondérée.