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Journal Articles Journal of Algebra Year : 2024

Lattices, Garside structures and weakly modular graphs

Treillis, structures de Garside et graphes faiblement modulaires

Abstract

In this article we study combinatorial non-positive curvature aspects of various simplicial complexes with natural $\widetilde A_n$ shaped simplicies, including Euclidean buildings of type $\widetilde A_n$ and Cayley graphs of Garside groups and their quotients by the Garside elements. All these examples fit into the more general setting of lattices with order-increasing $\mathbb Z$-actions and the associated lattice quotients proposed in a previous work by the first named author. We show that both the lattice quotients and the lattices themselves give rise to weakly modular graphs, which is a form of combinatorial non-positive curvature. We also show that several other complexes fit into this setting of lattices/lattice quotients, hence our result applies, including Artin complexes of Artin-Tits groups of type $\widetilde A_n$, a class of arc complexes and weak Garside groups arising from a categorical Garside structure in the sense of Bessis. Along the way, we also clarify the relationship between categorical Garside structure, lattices with $\mathbb Z$ action and different classes of complexes studied this article.
Dans cet article, nous étudions les espaces de courbure négative de plusieurs complexes simpliciaux avec des simplexes de type $\widetilde A_n$, en particulier des immeubles euclidiens de type $\widetilde A_n$ et des graphes de Cayley de groupes de Garside et leurs quotients par les éléments de Garside. Tous ces exemples font partie d'un cadre plus général de treillis munis d'une action croissante de $\mathbb Z$, ainsi que de leurs quotients, étudiés dans un travail précédent du premier auteur. Nous montrons que les treillis et leurs quotients forment des graphes faiblement modulaires, ce qui est une forme de courbure négative combinatoire. Nous montrons également que de nombreux autres complexes peuvent apparaître dans ce cadre d'un treillis ou d'un quotient de treillis. Ainsi notre résultat s'applique notamment aux complexes d'Artin de groupes d'Artin-Tits de type $\widetilde A_n$, à une famille de complexes d'arcs, et aux groupes de Garside faibles provenant d'une structure de Garside catégorique. Nous en profitons également pour éclaircir le lien entre structures de Garside catégoriques, treillis avec une action de $\mathbb Z$ et différents types de complexes étudiés dans cet article.

Dates and versions

hal-03843805 , version 1 (08-11-2022)

Identifiers

Cite

Thomas Haettel, Jingyin Huang. Lattices, Garside structures and weakly modular graphs. Journal of Algebra, 2024, 656, pp.226-258. ⟨10.1016/j.jalgebra.2023.08.034⟩. ⟨hal-03843805⟩
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