Annealed limit for a diffusive disordered mean-field model with random jumps
Limite "annealed" pour un modèle champ-moyen, diffusif et désordonné avec des sauts aléatoires
Résumé
We study a sequence of $N-$particle mean-field systems, each driven by $N$ simple point processes $Z^{N,i}$ in a random environment. Each $Z^{N,i}$ has the same intensity $(f(X^N_{t-}))_t$ and at every jump time of $Z^{N,i},$ the process $X^N$ does a jump of height $U_i/\sqrt{N}$ where the $U_i$ are disordered centered random variables attached to each particle. We prove the convergence in distribution of $X^N$ to some limit process $\bar X$ that is solution to an SDE with a random environment given by a Gaussian variable, with a convergence speed for the finite-dimensional distributions. This Gaussian variable is created by a CLT as the limit of the patial sums of the $U_i.$ To prove this result, we use a coupling for the classical CLT relying on the result of [Koml\'os, Major and Tusn\'ady (1976)], that allows to compare the conditional distributions of $X^N$ and $\bar X$ given the random environment, with the same Markovian technics as the ones used in [Erny, L\"ocherbach and Loukianova (2022)].
Nous étudions une suite de systèmes de $N$ particules en champ-moyen, où chaque système est dirigé par $N$ processus ponctuels simples $Z^{N,i}$ dans un environnement aléatoire. Chaque Z^{N,i} a la même intensité $f(X^N_{t-})_t$ et à chaque instant de saut de $Z^{N,i,},$ le processus $X^N$ fait un saut d'amplitude $U_i/\sqrt{N}$ où $U_i$ sont des variables aléatoires de désordre centrées attachées à chaque particule. Nous prouvons la convergence en loi de $X^N$ vers un processus limite $\bar X$ qui est solution d'une EDS dans un environnement aléatoire donné par une variable gaussienne, avec une vitesse de convergence pour les lois fini-dimensionelles. Cette variable gaussienne est créé par un TCL comme la limite des sommes partielles des $U_i.$ Pour montrer ce résultat, nous utilisons un couplage pour le TCL classique qui repose sur le résultat de [Koml\'os, Major et Tusn\'ady (1976)], qui permet de comparer les lois conditionnelles de $X^N$ et de $\bar X$ étant donné les variables d'environnement, avec les mêmes techniques markoviennes que celles utilisées dans [Erny, L\"ocherbach et Loukianova (2022)].
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